并不对劲的概率与期望
并不觉得今天学到了什么东西…感觉像上了数学课一样…
一、枚举法
初二数学就有提到的。不过,有时算出的概率和直觉并不相符,所以并不能直接凭感性认识,并不对劲的人有时还得理性分析的。下面说几道不太符合直觉的题:
(1)A对B说:“我有个兄弟姐妹,你猜猜这个人和我是同性还是异性呢?”这时B猜同性还是异性更容易猜对?
听上去猜哪一个都没有区别,然而事实上并不。假设A的性别是a,与A异性是b,那么A家的孩子有这几种可能:aa,ab,ba,bb。这四种都是等可能的。但是由于A已经是a性别的了,所以bb这种组合就被排除了,只剩下ab,ba,aa这三种情况。刚刚说过它们是等可能的,也就是ab,ba,aa三种情况各占1/3的概率。这样,A的兄弟姐妹的性别是b的概率就是2/3了。
(1.5)A看B迟迟不肯回答,就又说到:“这个人比我小。”这时B该猜什么呢?
照着上一题的思路,会发现ba这一种情况被排除了,只剩下ab,aa两种等可能情况,所以B猜什么都是一样的。
也就是说,有兄弟姐妹的人可以用这个方法去坑别人了。
(2)有三扇门,其中一扇有车,另外两扇后是山羊。A知道门后的情况。A让B选一扇门,B想选到汽车。B选定了一扇门。这个A比较贪玩,故意打开了一扇B没有选、里面还是山羊的门。A问B要不要换,B该如何回答?好像是一个很经典的问题。
先分析可能会出现等可能的车-羊-羊、羊-车-羊、羊-羊-车这三种情况。假设B一开始选了第一扇门,那么对于第一种情况而言,换门肯定对他不利。而对于后两种情况而言,由于A已经打开了另一扇门后是羊的门(B肯定不会傻到换为A打开的那扇有羊的门),所以他一定会换成有车的门。这样一来,换后有车的概率是2/3。也可以这样理解:只有第一次选中时换门对B不利,第一次选中的概率是1/3,那么换门不利的概率也是1/3。这样一来,B就最好换门了。也可以夸张一些看成,A有100扇门,一扇后面是汽车,其它的后面都是山羊。在B选中后,A打开了98扇后面是山羊的门,问B要不要换成另一扇没开的门。只要B第一次没选中,换门都会使他拿到汽车。第一次没选中的概率是99/100,所以换门拿到车的概率是99/100。虽然按照平常的生活经验,做选择题时改来改去反而容易错(这不是因为蠢吗…)。
(3)B不舒服,想知道生了什么病。不幸的是,他在医院被查出【某种很重的病】。这种病的患病率是一万分之一。由于医院条件一般,有1%的概率误诊(就是一百个人中有一个有病当成没病或没病当成有病)。B仍抱有一丝侥幸心理,他想知道他患病和未患病的概率哪个更高?
听上去B已经凶多吉少了。但是本着助人为乐是精神还是给他算一算比较好。假设一共有1,000,000个人,那么其中患【某种很重的病】的有100人。可以列出以下表格:
会发现被检测出患病的人中,竟然有大部分是没患病的!这样B未患病的概率就更高了。
照这么来说,是不是平时被诊断为有病了,也不用担心呢?想必不是。去医院的人大多是不舒服,更有可能是患病了。而且医院的误诊率也比本题中低多了。
(3.5)遗憾的是,B确实得了【某种很重的病】。A推荐了两家医院:甲医院致死率有10%,乙医院致死率有1%。B要不要问些别的信息再作决定?
反例:
这时得了重病的B最好还是不要去乙医院。
(4)A有一个不透明袋子里有3个红球,2个白球。这些球质量、材料、形状、大小都完全一样。B先摸出一个球,再放回去,再摸出一个球。这两次摸出的红球个数的期望E(X)是多少?如果不把第一次摸出的球放回去,这两次摸出的红球个数的期望E(Y)是多少?
此时最好冷静地列表枚举摸出红球的个数:
这样就可以得出E(X)=(9/25)*2+(12/25)*1+(4/25)*0=1.2。
对于不放回的情况,也可以列表:
也就能得出E(Y)=(6/20)*2+(12/20)*1+(2/20)*0=1.2。
神奇的事是,E(X)=E(Y)=1.2!这个1.2有什么神奇的?想必是2*(红球数/总球数)吧。
脑筋急转弯结束了,下面进入正题。
二、全概率、全期望公式及其用法
先上公式:全概率公式:P(B)=ΣP(B|Ai)*P(Ai);全期望公式:E(X)=ΣE(X|Ai)*P(Ai);(X|A表示在A的条件下发生X的概率,所有Ai两两互不相容且其和为全集)
主要用法是根据这个列方程或者递推式。下面来看几道例题:
(1) A将B放进了一个房间里,这个房间有编号分别为1、2、3的三扇门和一个天窗。其中1号门通向的通道走10分钟后会走到外面,2号门通向的通道走3分钟会从天窗掉回房间,3号门通向的通道走3分钟也会从天花板掉回房间。B比较蠢,他不会走天窗,也不知道上一次走了什么门,所以每次只能随机在三扇门中选一扇走了。问B期望几分钟能走出去?
用枚举法会发现走来走去会很乱,难以枚举。但是可以这样想:每次B有1/3的概率在10分钟后出去,有1/3的概率在3分钟后回到原状态,有1/3的概率在5分钟后回到原状态。套用全期望公式,就可以列出这样的式子:E(X)=10*(1/3)+(E(X)+3)*(1/3)+(E(X)+5)*(1/3)。最终解得E(X)=18。刚好是3+5+10,是巧合吗?
(2)B喝醉了,站在悬崖的边缘,他再走一步就会掉下去。他有1/2的概率向前走,有1/2的概率后退。A站在离悬崖10步远的地方,但是他比较懒,所以只有当B走到A的位置时A才会将B带离悬崖。问B成功被A救的概率时多少?
和上一题类似地,考虑状态之间转移。设P(X)为在距离悬崖X步的位置时获救的概率。首先,当X=10时,B必然会被A救,所以P(10)=1。当X=9时,B有1/2的概率走到10,有1/2的概率走到8,所以P(9)=P(8)*(1/2)+P(10)*(1/2)。同理可得,P(8)=P(7)*(1/2)+P(9)*(1/2),P(7)=P(6)*(1/2)+P(8)*(1/2)…,P(1)=P(0)*(1/2)+P(2)*(1/2)。当B站在悬崖边缘,也就是X=0时,他有1/2的概率掉下去,有1/2的概率走到距离悬崖为2的地方,所以P(0)=0*(1/2)+P(1)*(1/2)。会发现0,P(0),P(1),…,P(10)是一个等差数列,解得P(0)=1/11。B听上去被坑了的样子。
(3)A有个不透明袋子,袋中有a个红球,b个白球。他还有无限个白球。所有的球质量、材料、形状、大小都完全一样。A让B去摸球,无论摸出的是什么颜色,都会放回去一个白球。A与B约定在n次操作后袋内所有白球都给B。问n次操作后,B拿到的球的个数Xn的期望?
三、画图法
多用于几何概型。
顺便说一句,对于几何概型,必须明确随机数的生成方式。如果不这么做就容易出这些事故:
(1)对于半径为1的圆O,随机求一条弦AB,问AB>的概率。
a.在圆O上随机取点A,B,连接AB得出弦AB。这样相当于先固定A点(因为第一个点在哪都一样),再随机取B点。
如图,弧AC等于弧CD等于弧AD。当B在弧AC上或在弧AD上时,AB<,当B在弧CD上时,AB>
。弧CD占整个圆的1/3,所以AB>
的概率是1/3。
b.取弦AB中点M,会发现当OM<1/2时AB>。
如图,以O为圆心,以1/2为半径,作小圆O。当点M在小圆O内部时,AB>。小圆O的面积是大圆O的1/4,所以AB>
的概率是1/4。
如图,作半径OE,取线段OE的中点F。当M在线段OF上时,AB>。OF=(1/2)OE,所以AB>
的概率是1/2。
(2)在直角三角形ABC中,,
,AC=1,随机取一点M,问
的概率。
在边AC、AB、BC、整个平面上、三角形里、某个角里取点的答案都是不同的。
下面是几道画图法的例题:
(1)平面上有无数条两两平行的直线,相邻两条之间距离为d。现在往平面上投一根针,针的长度为l (l<d),问针与直线有交点的概率?
(2)圆周上随机取三点A,B,C,问圆心O在以这三个点为顶点的概率?
(3)有一根长度为1的棍子,随机取棍子上两点,在这两点处切开棍子,使它断为三段。问这三段能拼成一个三角形的概率?
(4)A早上会在7:00-8:00中随机一个时刻出发去学校,B早上会在6:30-7:30中随机一个时刻去拜访A。问B见到A的概率?
某道神题(因为不知道该如何归类):共有2n+1个元件,每一个有p的概率正常工作,当正常工作的总数达到n+1个时,整个系统才能正常工作。问:当p=1/2时,系统正常工作的概率是多少?写出系统正常工作的概率f(n)的递推式?
To be continued......
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