数论16——母函数
前言:
母函数是个很难的东西,难在数学
而ACM中所用的母函数只是母函数的基础
应该说除了不好理解外,其他都是非常简单的
母函数即生成函数,是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。
但是ACM中的母函数木有像数学那么深究,应用的都是母函数的一些基本
(就好比方程的配方,因式的分解,写起来容易,你用电脑写起来就麻烦了,所以学计算机就不要老跟数学家瞎闹( ̄3 ̄))
什么是母函数
就是把一个已知的序列和x的多项式合并起来,新产生的多项式就叫原来序列的母函数
至于怎么合并,看这个例子
序列{0,1,2,3,4,5...n}的母函数就是
f(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n(这个x没有任何意义,应该说,你不需要把它当做一个函数,你只要知道母函数这么写就可以了)
序列{1,1,1,1,1......}的母函数就是
f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4....
二项式展开的序列比如这个{1,4,6,4,1,0,0,0,0,0.....}是C(4,0)到C(4,4)的系数,那它的母函数就是
f(x)=1+4x+6x^2+4x^3+1x^4
母函数就长这样,对正常人来讲,这种东西毫无意义( ° △ °|||)
那看点有意义的东西(以下都是经典题型,我从杭电ACM课件抄来的)
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案?
假如x的幂次数表示几克的砝码
那么
1克的砝码表示为1+x^1
2克的砝码表示为1+x^2
3克的砝码表示为1+x^3
4克的砝码表示为1+x^4
每个砝码都可以选择取或不取
所以这里的1可以认为1*x^0,表示不取这颗砝码
那么把这些乘起来
(1+x^1)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=1+(x^1)+(x^2)+2(x^3)+2(x^4)+2(x^5)+2(x^6)+2(x^7)+(x^8)+(x^9)+(x^10)
根据指数来看,我们可以称出0~10这么多的重量,其中3~7的系数为2,说明有2种称的方法
那么我们来细看一遍
0:(什么砝码都不放).......................(1种)
1:1.............................................(1种)
2:2.............................................(1种)
3:3或1+2.....................................(2种)
4:4或1+3.....................................(2种)
5:1+4或2+3.................................(2种)
6:2+4或1+2+3..............................(2种)
7:3+4或1+2+4..............................(2种)
8:1+3+4......................................(1种)
9:2+3+4......................................(1种)
10:1+2+3+4.................................(1种)
分毫不差(・ˍ・*)
所以说母函数在ACM就是这么用的,跟函数没关系,跟写法有关系。。。
再来一题
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:(每张邮票的数量是无限的)
那么
1分:(1+x^1+x^2+x^3+x^4+......)
2分:(1+x^2+x^4+x^6+x^8+......)
3分:(1+x^3+x^6+x^9+x^12+......)
然后这3个乘起来(让电脑去乘吧)
对于这种无限的,题目肯定会给你他询问的数值的范围,计算到最大的范围就可以了
附代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> typedef long long LL; const int N = 100 + 5;//假如题目只问到100为止 const int MAX = 3;//题目只有1,2,3这3种邮票 LL c1[N], c2[N];//c2是临时合并的多项式,c1是最终合并的多项式 int n; void init(){ c1[0] = 1;//一开始0的情况算一种 for(int i = 1; i <= MAX; i ++){//把1分到MAXN的邮票合并,变成一个多项式 for(int j = 0; j < N; j += i){//i分的邮票,步长是i for(int k = 0; j + k < N; k ++){//从x^0到x^N遍历一遍 c2[j + k] += c1[k];//因为j的所有项系数为1,所以c1[k]可以看成c1[k]*1; } } for(int j = 0; j < N; j ++){//把c2的数据抄到c1,清空c2 c1[j] = c2[j]; c2[j] = 0; } } } int main(){ init(); while(scanf("%d", &n) != EOF){ printf("%I64d\n", c1[n]); } }
我们就来把这个模板用于实际吧
hdu 1028
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
题目问一个数字n能够拆成多少种数字的和
比如n=4
4 = 4;
4 = 3 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
有5种,那么答案就是5
AC代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> typedef long long LL; const int N = 120 + 5; const int MAX = 120 + 5; LL c1[N], c2[N]; int n; void init(){ c1[0] = 1; for(int i = 1; i <= MAX; i ++){ for(int j = 0; j < N; j += i){ for(int k = 0; j + k < N; k ++){ c2[j + k] += c1[k]; } } for(int j = 0; j < N; j ++){ c1[j] = c2[j]; c2[j] = 0; } } } int main(){ init(); while(scanf("%d", &n) != EOF){ printf("%I64d\n", c1[n]); } }
再来,hdu 1398
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
题目说一个国家的硬币都是方形的,面值也是方形的
有1块钱,4块钱,9块钱,16块钱......一直到289块钱(17^2)
问想组成n块钱有几种方法
AC代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> typedef long long LL; const int N = 300 + 5; const int MAX = 17; LL c1[N], c2[N]; int n; void init(){ c1[0] = 1; for(int i = 1; i <= MAX; i ++){ for(int j = 0; j < N; j += i*i){ for(int k = 0; j + k < N; k ++){ c2[j + k] += c1[k]; } } for(int j = 0; j < N; j ++){ c1[j] = c2[j]; c2[j] = 0; } } } int main(){ init(); while(scanf("%d", &n) != EOF && n){ printf("%I64d\n", c1[n]); } }
都是改一些小地方,都是模板题(o゚ω゚o)
最后一道
hdu 1085
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
AC代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> #include<cstring> typedef long long LL; const int N = 1000 * (1+2+5) + 5; int cost[3] = {1, 2, 5}; LL c1[N], c2[N]; int num[3]; int MAX; int main(){ while(~scanf("%d%d%d", &num[0], &num[1], &num[2])){ if(num[0] == 0 && num[1] == 0 && num[2] == 0) break; memset(c1, 0, sizeof(c1)); memset(c2, 0, sizeof(c2)); MAX = num[0] + num[1] * 2 + num[2] * 5;//计算最大值 c1[0] = 1; for(int i = 0; i < 3; i ++){ for(int j = 0; j <= num[i] * cost[i]; j += cost[i]){ for(int k = 0; j + k <= MAX; k ++){ c2[j + k] += c1[k]; } } for(int j = 0; j < N; j ++){ c1[j] = c2[j]; c2[j] = 0; } } for(int i = 1; i <= MAX + 1; i ++){ if(!c1[i]){ printf("%d\n", i); break; } } } }
母函数在数学上真的用处很大,但是我没怎么看到在ACM上有什么太大的用处(可能我做的题还不够多 T_T)
比如刚刚上面的3个例题,都有更快的做法
第一题:动态规划,时间复杂度O(n^2)
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> const int N = 120 + 5; int dp[N]; int n; void init(){ dp[0] = 1; for(int i = 1; i < N; i ++){ for(int j = i; j < N; j ++){ dp[j] += dp[j - i]; } } } int main(){ init(); while(scanf("%d", &n) != EOF){ printf("%d\n", dp[n]); } }
第二题:动态规划,时间复杂度O(n^2)
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> const int N = 300 + 5; int dp[N]; int n; void init(){ dp[0] = 1; for(int i = 1; i <= 17; i ++){ for(int j = i*i; j < N; j ++){ dp[j] += dp[j - i*i]; } } } int main(){ init(); while(scanf("%d", &n) != EOF && n){ printf("%d\n", dp[n]); } }
第三题:≖‿≖✧特判就好了,时间复杂度O(1)
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> int a, b, c; int ans; int main(){ while(~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c) && (a || b || c)){ if(a >= 4 || a >= 2 && b >= 1 || a >= 1 && b >= 2) ans = a + 2*b + 5*c + 1; else if(a == 0) ans = 1; else ans = a + 2*b + 1; printf("%d\n", ans); } }
哈哈哈有没有被骗的感觉,有些题目,不要陷进算法里,这题O(1)的复杂度就可以了,如果你用三个for循环,那就太慢了,而且数量不同,还没有办法预处理,如果数据量大,肯定超时
所以,母函数我们只要理解原理就好了
那么ACM的母函数讲完了(*°∀°)
之后是数学上的母函数,不想看的人就可以结束本章内容了(*°∀°)