数论10——中国剩余定理
公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之余二 ,五五数之余三 ,七七数之余二,问物几何?”答为“23”。
就是说,有一个东西不知道有多少个,但是它求余3等于2,求余5等于3,求余7等于2,问这个东西有多少个?”答为“23”。
![中国剩余定理1](https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/linyujun/787954/o_80cb39dbb6fd5266de7cc231a818972bd40736bb.jpg)
中国剩余定理说明:假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质,则对任意的整数:a1,a2, ... ,an,方程组 (S)有解
能求解什么问题呢?
问题:
一堆物品
3个3个分剩2个
5个5个分剩3个
7个7个分剩2个
问这个物品有多少个
解这题,我们需要构造一个答案
我们需要构造这个答案
5*7*inv(5*7, 3) % 3 = 1
3*7*inv(3*7, 5) % 5 = 1
3*5*inv(3*5, 7) % 7 = 1
这3个式子对不对,别告诉我逆元你忘了(*´∇`*),忘了的人请翻阅前几章复习
然后两边同乘你需要的数
2 * 5*7*inv(5*7, 3) % 3 = 2
3 * 3*7*inv(3*7, 5) % 5 = 3
2 * 3*5*inv(3*5, 7) % 7 = 2
令
a = 2 * 5*7*inv(5*7, 3)
b = 3 * 3*7*inv(3*7, 5)
c = 2 * 3*5*inv(3*5, 7)
那么
a % 3 = 2
b % 5 = 3
c % 7 = 2
其实答案就是a+b+c
因为
a%5 = a%7 = 0 因为a是5的倍数,也是7的倍数
b%3 = b%7 = 0 因为b是3的倍数,也是7的倍数
c%3 = c%5 = 0 因为c是3的倍数,也是5的倍数
所以
(a + b + c) % 3 = (a % 3) + (b % 3) + (c % 3) = 2 + 0 + 0 = 2
(a + b + c) % 5 = (a % 5) + (b % 5) + (c % 5) = 0 + 3 + 0 = 3
(a + b + c) % 7 = (a % 7) + (b % 7) + (c % 7) = 0 + 0 + 2 = 2
你看你看,答案是不是a+b+c(。・ω・)ノ゙,完全满足题意
但是答案,不只一个,有无穷个,每105个就是一个答案(105 = 3 * 5 * 7)
根据计算,答案等于233,233%105 = 23
如果题目问你最小的那个答案,那就是23了
以下抄自百度百科
![中国剩余定理1](https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/linyujun/787954/o_80cb39dbb6fd5266de7cc231a818972bd40736bb.jpg)
![中国剩余定理2](https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/linyujun/787954/o_7af40ad162d9f2d30fcbdacaaaec8a136327cc39.jpg)
![中国剩余定理3](https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/linyujun/787954/o_91ef76c6a7efce1b22fa36efac51f3deb58f65c6.jpg)
![中国剩余定理4](https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/linyujun/787954/o_562c11dfa9ec8a133826aec5f403918fa0ecc0d3.jpg)
![中国剩余定理5](https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/linyujun/787954/o_4d086e061d950a7b5002b7e109d162d9f2d3c9e4.jpg)
![中国剩余定理6](https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/linyujun/787954/o_2fdda3cc7cd98d10aa8ef514223fb80e7bec90b9.jpg)
![中国剩余定理7](https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/linyujun/787954/o_9c16fdfaaf51f3de7643404197eef01f3a297926.jpg)
//n个方程:x=a[i](mod m[i]) (0<=i<n) LL china(int n, LL *a, LL *m){ LL M = 1, ret = 0; for(int i = 0; i < n; i ++) M *= m[i]; for(int i = 0; i < n; i ++){ LL w = M / m[i]; ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M; } return (ret + M) % M; }
要不要来一道题试试手?
poj 1006
http://poj.org/problem?id=1006
问题描述:
人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天。一个周期内有一天为峰值,在这一天,人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期,要求从这一天开始,算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。
分析:
因为23 = 23
28 = 2*2*7
33 = 3*11
满足两两互质关系,所以直接套模板就好了
AC代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> typedef long long LL; const int N = 100000 + 5; void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){ if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;} else{ ex_gcd(b, a % b, y, x, d); y -= x * (a / b); } } LL inv(LL t, LL p){//如果不存在,返回-1 LL d, x, y; ex_gcd(t, p, x, y, d); return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1; } LL china(int n, LL *a, LL *m){//中国剩余定理 LL M = 1, ret = 0; for(int i = 0; i < n; i ++) M *= m[i]; for(int i = 0; i < n; i ++){ LL w = M / m[i]; ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M; } return (ret + M) % M; } int main(){ LL p[3], r[3], d, ans, MOD = 21252; int cas = 0; p[0] = 23; p[1] = 28; p[2] = 33; while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d", &r[0], &r[1], &r[2], &d) && (~r[0] || ~r[1] || ~r[2] || ~d)){ ans = ((china(3, r, p) - d) % MOD + MOD) % MOD; printf("Case %d: the next triple peak occurs in %I64d days.\n", ++cas, ans ? ans : 21252); } }
当然,这个中国剩余定理只是基础,面对更强大的敌人,我们要有更强的武器
比如,m1,m2, ... ,mn两两不保证互质,辣怎么办(っ °Д °)っ
别怕,看我接着抛代码
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; typedef pair<LL, LL> PLL; PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组 LL x = 0, m = 1; for(int i = 0; i < n; i ++) { LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a); if(b % d != 0) return PLL(0, -1);//答案不存在,返回-1 LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d); x = x + m*t; m *= M[i]/d; } x = (x % m + m ) % m; return PLL(x, m);//返回的x就是答案,m是最后的lcm值 }
这个代码我不给予解释(因为我不会,哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯)
遇到需要的题就去套模板吧
(想知道代码原理的去百度吧,或者看《挑战程序设计竞赛》,我模板是从书里抄来经过杰哥修改的)
比如poj 2891
http://poj.org/problem?id=2891
【题目大意】
给出k个模方程组:x mod ai = ri。求x的最小正值。如果不存在这样的x,那么输出-1.
【题目分析】
由于这道题目里面的ai、ri之间不满足两两互质的性质,所以不能用中国剩余定理直接求解。
辣么。。。。愉快的套这个模板吧
AC代码如下:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; typedef pair<LL, LL> PLL; LL a[100000], b[100000], m[100000]; LL gcd(LL a, LL b){ return b ? gcd(b, a%b) : a; } void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){ if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;} else{ ex_gcd(b, a % b, y, x, d); y -= x * (a / b); } } LL inv(LL t, LL p){//如果不存在,返回-1 LL d, x, y; ex_gcd(t, p, x, y, d); return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1; } PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组 LL x = 0, m = 1; for(int i = 0; i < n; i ++) { LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a); if(b % d != 0) return PLL(0, -1);//答案,不存在,返回-1 LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d); x = x + m*t; m *= M[i]/d; } x = (x % m + m ) % m; return PLL(x, m);//返回的x就是答案,m是最后的lcm值 } int main(){ int n; while(scanf("%d", &n) != EOF){ for(int i = 0; i < n; i ++){ a[i] = 1; scanf("%d%d", &m[i], &b[i]); } PLL ans = linear(a, b, m, n); if(ans.second == -1) printf("-1\n"); else printf("%I64d\n", ans.first); } }
你看,全TM是套路
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯