数论9——组合数

组合数并不陌生(´・ω・`)

我们都学过组合数

 

会求组合数吗

 

一般我们用杨辉三角性质

杨辉三角上的每一个数字都等于它的左上方和右上方的和（除了边界）

第n行，第m个就是，就是C(n, m) （从0开始）

 

电脑上我们就开一个数组保存，像这样

 

用递推求

#include<cstdio>
const int N = 2000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m)
void init(){
    for(int i = 0; i < N; i ++){
        comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j ++){
            comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1];
            comb[i][j] %= MOD;
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

（PS：大部分题目都要求求余，而且大部分都是对1e9+7这个数求余）

这种方法的复杂度是O(n^2)，有没有O(n)的做法，当然有(´・ω・`)

 

因为大部分题都有求余，所以我们大可利用逆元的原理（没求余的题目，其实你也可以把MOD自己开的大一点，这样一样可以用逆元做）

 

根据这个公式

我们需要求阶乘和逆元阶乘

 我们就用1e9+7来求余吧

 

代码如下：

#include<cstdio>
const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int F[N], Finv[N], inv[N];//F是阶乘，Finv是逆元的阶乘 
void init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
    }
    F[0] = Finv[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i ++){
        F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD;
        Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD;
    }
}
int comb(int n, int m){//comb(n, m)就是C(n, m) 
    if(m < 0 || m > n) return 0;
    return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
}
int main(){
    init();
}

 

组合大法好，要懂得善加利用(。-`ω´-)