数论8——欧拉函数
欧拉函数，用φ(n)表示
欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目
辣么，怎么求哩？~(～o￣▽￣)～o
可以先在1到n-1中找到与n不互质的数，然后把他们减掉
比如φ(12)
把12质因数分解，12=2*2*3，其实就是得到了2和3两个质因数
然后把2的倍数和3的倍数都删掉
2的倍数：2,4,6,8,10,12
3的倍数：3,6,9,12
本来想直接用12 - 12/2 - 12/3
但是6和12重复减了
所以还要把即是2的倍数又是3的倍数的数加回来 (＞﹏＜)
所以这样写12 - 12/2 - 12/3 + 12/(2*3)
这叫什么，这叫容斥啊，容斥定理听过吧
比如φ(30)，30 = 2*3*5
所以φ(30) = 30 - 30/2 - 30/3 - 30/5 + 30/(2*3) + 30/(2*5) + 30/(3*5) - 30/(2*3*5)
但是容斥写起来好麻烦(￣.￣)
有一种简单的方法
φ(12) = 12*(1 - 1/2)*(1 - 1/3) = 12*(1 - 1/2 - 1/3 + 1/6)
φ(30) = 30*(1 - 1/2)*(1 - 1/3)*(1 - 1/5) = 30*(1 - 1/2 - 1/3 - 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/15 - 1/30)
你看( •̀∀•́ )，拆开后发现它帮你自动帮你容斥好
所以φ(30)的计算方法就是先找30的质因数
分别是2,3,5
然后用30* 1/2 * 2/3 * 4/5就搞定了
顺便一提，phi(1) = 1
代码如下：
//欧拉函数
int phi(int x){
int ans = x;
for(int i = 2; i*i <= x; i++){
if(x % i == 0){
ans = ans / i * (i-1);
while(x % i == 0) x /= i;
}
}
if(x > 1) ans = ans / x * (x-1);
return ans;
}
（phi就是φ的读音）
机智的代码，机智的我(｡・`ω´･)
这个的复杂度是O（√n），如果要你求n个数的欧拉函数，复杂度是O（n√n），这也太慢了
有更快的方法
跟埃筛素数差不多
#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
int phi[N];
void Euler(){
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; i ++){
if(!phi[i]){
for(int j = i; j < N; j += i){
if(!phi[j]) phi[j] = j;
phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
}
}
}
}
int main(){
Euler();
}
（Euler就是欧拉）
另一种，比上面更快的方法
需要用到如下性质
p为质数
1. phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质
2. 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=phi(i) * p （我不会证明）
3.若i mod p ≠0, 那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 ) （我不会证明）
（所以我说我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭）
代码如下：
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e6+10 ;
int phi[N], prime[N];
int tot;//tot计数，表示prime[N]中有多少质数
void Euler(){
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; i ++){
if(!phi[i]){
phi[i] = i-1;
prime[tot ++] = i;
}
for(int j = 0; j < tot && 1ll*i*prime[j] < N; j ++){
if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
else{
phi[i * prime[j] ] = phi[i] * prime[j];
break;
}
}
}
}
int main(){
Euler();
}
最后说下
a^b % p 不等价 (a%p)^(b%p) % p
因为
a^φ(p) ≡ 1 (mod p)
所以
a^b % p = (a%p)^(b%φ(p)) % p
（欧拉函数前提是a和p互质）
如果p是质数
直接用这个公式
机智的代码，机智的我(｡・`ω´･)
///////////////////////////////////////////////
2016年7月23号
我的天哪，我又发现了一个新公式，貌似可以摆脱a和p互质的束缚，让我们来命名为：超欧拉取模进化公式
这是历史性的一刻，妈妈再也不用为a和p不互质而担心了= =
