数论1——素数
素数,又叫质数,定义是除了1和它本身以外不再有其他的因数
我们通过这个定义,可以写如下程序判断一个数是不是质数
bool prime(int x){//判断x是不是质数,是返回true,不是返回false if(x <= 1) return false; for(int i = 2; i < x; i ++){ if(x % i == 0) return false; } return true; }
这个程序的时间复杂度是O(n),有没有更快的方法,当然
看这个
bool prime(int x){//判断x是不是质数,是返回true,不是返回false if(x <= 1) return false; for(int i = 2; i <= sqrt(x + 0.5); i ++){//0.5是防止根号的精度误差 if(x % i == 0) return false; } return true; } //另一种方法,不需要根号 bool prime(int x){//判断x是不是质数,是返回true,不是返回false if(x <= 1) return false; for(int i = 2; i * i <= x; i ++){//用乘法避免根号的精度误差 if(x % i == 0) return false; } return true; } //根据题目不同,如果i*i会爆int,记得开longlong
这个复杂度是O(√n),速度快多了(#°Д°)
根据题目不同,有可能你需要先预处理出1~N这N个数是否是素数
如果用刚刚的方法,复杂度就是O(n√n)
#include<cstdio> const int N = 100000 + 5; bool prime[N]; bool is_prime(int x){ if(x <= 1) return false; for(int i = 2; i * i <= x; i ++){ if(x % i == 0) return false; } return true; } void init(){ for(int i = 0; i < N; i ++){ prime[i] = is_prime(i); } } int main(){ init(); }
如果n大一点,就太慢了(。・ω・)ノ゙
介绍一种新方法,埃筛
埃筛--------------埃拉托斯特尼筛法,或者叫埃氏筛法
原理:如果找到一个质数,那么这个质数的倍数都不是质数
比如2是质数,那么4,6,8,10,12...都不是质数
然后看3是质数,那么6,9,12,15,18,21...都不是质数
然后看4,4已经被2标记为合数了,所以跳过
然后看5......这样一直筛下去
#include<cstdio> const int N = 100000 + 5; bool prime[N]; void init(){ for(int i = 2; i < N; i ++) prime[i] = true;//先全部初始化为质数 for(int i = 2; i < N; i ++){ if(prime[i]){//如果i是质数 for(int j = 2*i; j < N; j += i){//从i的两倍开始的所有倍数 prime[j] = false; } } } } int main(){ init(); }
因为一些数字,比如6既被2的for循环经过又被3的for循环经过,所以复杂度不是O(n)
这个复杂度经过专业人士检验,复杂度O(nloglogn)(学过高数的小朋友可以自己证明≖‿≖✧当然也可以去百度)
知道原理后,我们再稍微优化一下就更快了
#include<cstdio> const int N = 100000 + 5; bool prime[N]; void init(){ for(int i = 2; i < N; i ++) prime[i] = true; for(int i = 2; i*i < N; i ++){//判断改成i*i<N if(prime[i]){ for(int j = i*i; j < N; j += i){//从i*i开始就可以了 prime[j] = false; } } } } int main(){ init(); }
好戏都是要留到最后的≖‿≖✧确实还有O(n)的做法
这个算法名字叫线筛
#include<cstdio> const int N = 100000 + 5; bool prime[N];//prime[i]表示i是不是质数 int p[N], tot;//p[N]用来存质数 void init(){ for(int i = 2; i < N; i ++) prime[i] = true;//初始化为质数 for(int i = 2; i < N; i++){ if(prime[i]) p[tot ++] = i;//把质数存起来 for(int j = 0; j < tot && i * p[j] < N; j++){ prime[i * p[j]] = false; if(i % p[j] == 0) break;//保证每个合数被它最小的质因数筛去 } } } int main(){ init(); }
这个方法可以保证每个合数都被它最小的质因数筛去
所以一个数只会经过一次
时间复杂度为O(n)
其实loglogn非常小,把埃筛看成线性也无妨,毕竟它比线筛好写
基于埃筛的原理,我们可以用它干很多事
比如预处理每个数的所有质因数
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> #include<vector> using namespace std; const int N = 100000 + 5; vector<int > prime_factor[N]; void init(){ for(int i = 2; i < N; i ++){ if(prime_factor[i].size() == 0){//如果i是质数 for(int j = i; j < N; j += i){ prime_factor[j].push_back(i); } } } } int main(){ init(); }
比如预处理每个数的所有因数
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> #include<vector> using namespace std; const int N = 100000 + 5; vector<int > factor[N]; void init(){ for(int i = 2; i < N; i ++){ for(int j = i; j < N; j += i){ factor[j].push_back(i); } } } int main(){ init(); }
比如预处理每个数的质因数分解
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> #include<vector> using namespace std; const int N = 100000 + 5; vector<int > prime_factor[N]; void init(){ int temp; for(int i = 2; i < N; i ++){ if(prime_factor[i].size() == 0){ for(int j = i; j < N; j += i){ temp = j; while(temp % i == 0){ prime_factor[j].push_back(i); temp /= i; } } } } } int main(){ init(); }