数据结构18——欧拉函数

1.欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

2.通式：φ(x)=x*(1-1/p₁)*(1-1/p₂)*(1-1/p₃)*(1-1/p₄)…..(1-1/p_n),其中p₁, p₂……p_n为x的所有质因数，x是不为0的整数。

　φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

3.对于质数p，φ(p) = p - 1。

4.欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 mod n。

5.欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

6.若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k - p^k-1 = (p-1)p^k-1，因为除了p的倍数外 ，其他数都跟n互质。

7.特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

8.欧拉函数还有这样的性质：

设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) *a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

【普通欧拉函数】

int phi(int p){
    int phi=p;
    for(int i=2;i*i<=p;i++){
        if(!(p%i)){
            phi=phi-phi/i;
            while(!(p%i)) p/=i;
        }
    }
    if(p>1) phi=phi-phi/p;
    return phi;
}

【快速欧拉函数】

void prepare(){
    phi[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!check[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            else {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
        }
    }
}