数据结构15——快速幂
一、相关介绍
快速幂
- 做到快速求幂
- 时间复杂度:O(logn)
问题引入
题目:求ab
朴素解法:将a连乘b次,那么对应的时间复杂度就是O(b),即O(n)。
快速幂法:关于此题的快速幂法会在下面的算法实现提及。
二、算法实现
下面以求ab的过程为例讲解快速幂的实现:
- b可以转换为二进制数,该二进制数第i位的位权为2i-1
例如,当b==11时,a11=a2^0+2^1+2^3,11的二进制是1011,11 = 23×1 + 22×0 + 21×1 + 20×1,因此,我们将a11转化为算 a(2^0) * a(2^1) * a(2^3) 。
看出来快的多了吧,原来算11次,现在算三次,但是这三项貌似不好求的样子....不急,下面会有详细解释。
- 由于是二进制,很自然地想到用位运算(包括:&和>>)
&运算通常用于二进制取位操作,例如一个数&1的结果就是取二进制的最末位;还可以判断奇偶x&1==0为偶,x&1==1为奇。
>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位,不多说了,先放代码再解释。
int poww(int a,int b){ int ans=1,base=a; while(b!=0){ if(b&1!=0) ans*=base; base*=base; b>>=1; } return ans; }
解释:以b==11为例,b的二进制形式为1011,此二进制从右向左算,但乘出来的顺序是 a(2^0)*a(2^1)*a(2^3),是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘,以便随时对ans做出贡献。
其中要理解base*=base这一步,看:::base*base==base^2,下一步再乘,就是base^2*base^2==base^4,然后同理 base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊,再看上 面的例子,a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),这三项是不是完美解决了,,嗯,快速幂就是这样。
顺便啰嗦一句,由于指数函数是爆炸增长的函数,所以很有可能会爆掉int的范围,根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。