扩展KMP算法

一、何为扩展

预先设定

• 字符串S，长度为n
• 字符串T，长度为m
• 下标i从0开始
• extend[i]表示：S[i]...S[n-1]与 T 的最长相同前缀的长度
• 问题：求出所有的extend[i]

具体示例如下表所示：

KMP 算法的功能

1. 如果在 S 的某个位置 i 有extend[i]等于 m，则可知在 S 中找到了匹配串 T，并且匹配的首位置是 i；
2. 扩展 KMP 算法可以找到 S 中所有 T 的匹配。

二、扩展KMP算法

【算法流程】

1.

如上图，假设当前遍历到 S 串位置 i，即extend[0]...extend[i - 1]这 i 个位置的值已经计算得到。设置两个变量，a 和 p。p 代表以 a 为起始位置的字符匹配成功的最右边界，也就是 “p = 最后一个匹配成功位置 + 1”。相较于字符串 T 得出，S[a...p) 等于 T[0...p-a)。

再定义一个辅助数组int next[]，其中next[i]含义为：T[i]...T[m - 1]与 T 的最长相同前缀长度，m 为串 T 的长度。

举个例子：

2.

椭圆的长度为next[i - a]，对比 S 和 T，很容易发现，三个椭圆完全相同。如上图，此时i + next[i - a] < p，根据 next 数组的定义，此时extend[i] = next[i - a]。

3.

如果i + next[i - a] == p呢？如上图，三个椭圆都是完全相同的，此时我们可以直接从S[p]与T[p - i]开始往后匹配，加快了速度。

4.

如果i + next[i - a] > p呢？那说明S[i...p)与T[i-a...p-a)相同，这和i + next[i - a] == p的情况一样，我们直接从S[p]与T[p - i]开始往后匹配。（在以 a 为始的匹配中，S[p]与T[p-a]已经失配）

（5）最后，就是求解 next 数组。我们再来看下next[i]与extend[i]的定义：
next[i]： T[i]...T[m - 1]与 T 的最长相同前缀长度；
extend[i]： S[i]...S[n - 1]与 T 的最长相同前缀长度。

恍然大悟，求解next[i]的过程不就是 T 自己和自己的一个匹配过程嘛，下面直接看代码。

【代码】

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

/* 求解 T 中 next[]，注释参考 GetExtend() */
void GetNext(string & T, int & m, int next[])
{
    int a = 0, p = 0;
    next[0] = m;

    for (int i = 1; i < m; i++)
    {
        if (i >= p || i + next[i - a] >= p)
        {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p < m && T[p] == T[p - i])
                p++;

            next[i] = p - i;
            a = i;
        }
        else
            next[i] = next[i - a];
    }
}

/* 求解 extend[] */
void GetExtend(string & S, int & n, string & T, int & m, int extend[], int next[])
{
    int a = 0, p = 0;
    GetNext(T, m, next);

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (i >= p || i + next[i - a] >= p) // i >= p 的作用：举个典型例子，S 和 T 无一字符相同
        {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p < n && p - i < m && S[p] == T[p - i])
                p++;

            extend[i] = p - i;
            a = i;
        }
        else
            extend[i] = next[i - a];
    }
}

int main()
{
    int next[100];
    int extend[100];
    string S, T;
    int n, m;
    
    while (cin >> S >> T)
    {
        n = S.size();
        m = T.size();
        GetExtend(S, n, T, m, extend, next);

        // 打印 next 和 extend
        cout << "next:   ";
        for (int i = 0; i < m; i++)
            cout << next[i] << " ";

        cout << "\nextend: ";
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << extend[i] << " ";

        cout << endl << endl;
    }
    return 0;
}

测试数据如下：

时间复杂度：对比 KMP 算法，很容易发现时间复杂度为 Θ(n+m)。