数据结构1——树状数组
一、相关定义
树状数组
- 获取数组中连续n个数的和
- 修改数组中某点的值
- 时间复杂度:O(logn)
小结:树状数组的强项在于对数组进行维护查询(如,修改某点的值、求某个区间的和)。当然,数据规模不大的时候,对于修改某点的值是非常容易的,复杂度是O(1),但是对于求一个区间的和就要扫一遍了,复杂度是O(N),如果实时的对数组进行M次修改或求和,最坏的情况下复杂度是O(M*N),当规模增大后这是划不来的!而树状数组干同样的事复杂度却是O(M*logN)。
二、算法描述
列出即将出现的知识定义:
- lowbit(k):把k的二进制的高位1全部清空,只留下最低位的1(即只能剩下一个相对位数最低的1)
- 求解lowbit(k):lowbit(k)=k&-k
- lowbit(k)的作用:联系数组a和数组c
- ck:从ak开始(包括ak)往左连续求lowbit(k)个数的和
- 去尾:把尾部应该去掉的1都去掉转而换到更高位的1,记住每次变换都要有一个高位的1产生
- 去尾实现:k += lowbit(k)
配图如下(左边为图A,右边为图B):
【建立关系】
图A是不是很像一颗树?对,这就是为什么叫树状数组了。A图中,a数组就是我们要维护和查询的数组,但是其实我们整个过程中根本用不到a数组,你可以把它当作一个摆设!c数组才是我们全程关心和操纵的重心。先由图来看看c数组的规则,其中c8=c4+c6+c7+a8,c6=c5+a6……先不必纠结怎么做到的,我们只要知道c数组的大致规则即可,很容易知道c8表示a1~a8的和,但是c6却是表示a5~a6的和,为什么会产生这样的区别的呢?或者说发明它的人为什么这样区别对待呢?答案是,这样会使操作更简单!看到这相信有些人就有些感觉了,为什么复杂度被log了呢?可以看到,c8可以看作a1~a8的左半边和+右半边和,而其中左半边和是确定的c4,右半边其实也是同样的规则把a5~a8一分为二……继续下去都是一分为二直到不能分,可以看看B图。怎么样?是不是有点二分的味道了?对,说白了树状数组就是巧妙的利用了二分,它并不神秘,关键是它的巧妙!
它又是怎样做到不断的一分为二呢?说这个之前我先说个叫lowbit的东西,lowbit(k)就是把k的二进制的高位1全部清空,只留下最低位的1,比如10的二进制是1010,则lowbit(10)=lowbit(1010)=(0010)2 。介于这个lowbit在下面会经常用到,这里给一个非常方便的实现方式,比较普遍的方法lowbit(k)=k&-k,这是位运算,我们知道一个数加一个负号是把这个数的二进制取反+1,如-10的二进制就是-1010=0101+1=0110,然后用1010&0110,答案就是0010了!明白了求解lowbit的方法就可以了,继续下面。介于下面讨论十进制已经没有意义(这个世界本来就是二进制的,人非要主观的构建一个十进制),下面所有的数没有特别说明都当作二进制。
上面那么多文字说lowbit,还没说它的用处呢,它就是为了联系a数组和c数组的!ck表示从ak开始往左连续求lowbit(k)个数的和。比如c[0110]=a[0110]+a[0101],就是从0110开始(包括0110)往左计算了lowbit(0110)个数的和,(因为lowbit(0110)=0010)即从0110开始(包括0110)往左计算了0010(也就是2)个数的和,这0010个数分别为a[0110]与a[0101]。因为lowbit(0110)=0010,可以看到其实只有低位的1起作用,因为很显然可以写出c[0010]=a[0010]+a[0001],这就为什么我们任何数都只关心它的lowbit,因为高位不起作用(基于我们的二分规则它必须如此!),除非除了高位其余位都是0,这时本身就是lowbit。
【更新位置数据】
既然关系建立好了,看看如何实现a某一个位置数据更改的,它不会直接改的(开始就说了,a根本不存在),它每次改其实都要维护c数组应有的性质,因为后面求和要用到。而维护也很简单,比如更改了a[0011],我们接着要修改c[0011],c[0100],c[1000],这是很容易从图上看出来的,但是你可能会问,他们之间有什么必然联系吗?每次求解总不能总要拿图来看吧?其实从0011——>0100——>1000的变化都是进行“去尾”操作,就是把尾部应该去掉的1都去掉、转而换到更高位的1,记住每次变换都要有一个高位的1产生,所以0100是不能变换到0101的,因为没有新的高位1产生,这个变换过程恰好是可以借助我们的lowbit进行的,k += lowbit(k)。
好吧,现在更新的次序都有了,可能又会产生新的疑问了:为什么它非要是这种关系啊?这就要追究到之前我们说c8可以看作a1~a8的左半边和+右半边和……的内容了,为什么c[0011]会影响到c[0100]而不会影响到c[0101],这就是之前说的c[0100]的求解实际上是这样分段的区间 c[0001]~c[0001] 和区间c[0011]~c[0011]的和,数字太小,可能这样不太理解,在比如c[0100]会影响c[1000],为什么呢?因为c[1000]可以看作0001~0100的和加上0101~1000的和,但是0101位置的数变化并会直接作用于c[1000],因为它的尾部1不能一下在跳两级在产生两次高位1,是通过c[0110]间接影响的,但是,c[0100]却可以跳一级产生一次高位1。
可能上面说的你比较绕了,那么此时你只需注意:c的构成性质(其实是分组性质)决定了c[0011]只会直接影响c[0100],而c[0100]只会直接影响[1000],而下表之间的关系恰好是也必须是k +=lowbit(k)。
此时我们就是写出更新维护树的代码:
void add(int k,int num) { while(k<=n) { tree[k]+=num; k += k&-k; //k&-k 就是lowbit(k) } }
有了上面的基础,说求和就比较简单了。
比如求0001~0110的和就直接c[0100]+c[0110],分析方法与上面的恰好逆过来,而且写法也是逆过来的,具体就不赘述了:
int read(int k) //1~k的区间和 { int sum=0; while(k) { sum += tree[k]; k -= k&-k; } return sum; }
三、博客小结
- 树状数组说白了是按照二分对数组进行分组;
- 维护和查询都是O(logn)的复杂度;
- lowbit这里只是一个技巧,关键在于明白c数组的构成规律;
- 分析的过程二进制一定要深入人心,当作心目中的十进制