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首先，使用二分有几个前提：

• 具有单调性

• 要求“最小的最大”或“最大的最小”

其次，还要分清楚二分查找与二分答案的区别：

• 二分查找：在某区间使用二分的思想进行查找

• 二分答案：在答案的区间中使用二分的思想并判断从而找到最优解

同时还要处理好二分的边界。

接下来来理解一下二分法的思想

每次都有一个左端点 $l$ 和右端点 $r$，然后判断这一段选中区间的中点 $mid=\frac{(l+r)}{2}$ 是否满足条件，若满足则结束搜索；否则到这个中点的左侧/右侧寻找答案。因为二分每次查找的区间都是上一次的一半，所以最劣时间复杂度是 $O(lo{g}_2(n))$ 的。

然后来看一下模版代码

先说明一下，$x>>y$ 是位运算，意思是把 $x$ 在二进制下右移 $y$ 位，即 $\lfloor \frac{x}{2^y}\rfloor$，左移 $y$ 位则是 $x<<y$，即 $x\times 2^y$，这样会比直接使用 $/$ 的效率更快，快读中的 $ans=(ans<<3)+(ans<<1)+x$ 也是同样的道理。

1. 使找到的答案尽可能靠左（即在一个升序排列中要求“最小的最大”）

while l<r:
  mid=(l+r)>>1 #or (l+r)//2
  if check(mid): #check 应为判断函数，并且应该返回一个布尔值
    r=mid
  else:
    l=mid+1

while(l<r){
  int mid=(l+r)>>1; //or (l+r)/2
  if(check(mid)) r=mid; //check 应为判断函数，并且应该返回一个布尔值
  else l=mid+1;
}

2. 使找到的答案尽可能靠右（即在一个升序排列中要求“最大的最小”）

while l<r:
  mid=(l+r+1)>>1 #or (l+r+1)//2
  if check(mid): #check 应为判断函数，并且应该返回一个布尔值
    l=mid
  else:
    r=mid-1

while(l<r){
  int mid=(l+r+1)>>1; //or (l+r+1)/2
  if(check(mid)) l=mid; //check 应为判断函数，并且应该返回一个布尔值
  else r=mid-1;
}

接下来是二分答案

什么时候需要二分答案？

答案在一个很大的区间中，暴力会超时，这时就要使用二分答案了。

那怎么做呢？

首先要确定好初始范围，然后根据题意写一个 $check$ 判断函数，最后看到底是“最小的最大”还是“最大的最小”从而套用模板。

一些例题

例题一

例题二

例题三

例题四