Codeforces Round 911 (Div. 2)

A - Cover in Water

三个连续的 . 就可以造出无限水，这时直接输出 $2$，否则输出区间长度和。

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B - Laura and Operations

每次操作不会改变不需要的两个数的个数的和的奇偶性，而当这个和为偶数的时候，通过若干操作一定可以全部变成另一个。

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C - Anji's Binary Tree

设 $d{p}_u$ 表示从 $u$ 走到叶子最少需要修改多少个点，于是有 $d{p}_u=min(d{p}_{l{s}_u}+[s_u{\ne }^{\prime }{L}^{\prime }],d{p}_{r{s}_u}+[s_u{\ne }^{\prime }{R}^{\prime }])$，dfs 一遍即可。

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D - Small GCD

先把 $a$ 排序，枚举最大的数 $a_i$，并维护 $sum=\sum _{j=1}^{i-1}\sum _{k=j+1}^{i}gcd(a_j,a_k)$，注意到 $i$ 每增加 $1$，$sum$ 增加 $\sum _{j=1}^{i-2}gcd(a_{i-1},a_j)$，于是快速求出这个式子即可。

注意到 $a_i\le {10}^5$，于是 $a_i$ 最多有 $128$ 个因子，因此可以维护一个 $cn{t}_x$ 表示是 $x$ 的倍数的 $a_i$ 有多少个。之后容易想到用 ${128}^2$ 的时间去容斥（从大到小枚举因子，统计 $cn{t}_x^{\prime }$ 表示和 $a_i$ 的 $gcd$ 为 $x$ 的数有多少个，算出 $cn{t}_x^{\prime }$ 后枚举小于 $x$ 的因子，将 $x$ 的因子对应的位置的 $cn{t}^{\prime }$ 减去 $cn{t}_x^{\prime }$），但是速度难以接受。不过发现枚举 $x$ 的因子这一步可以通过预处理出所有可能的 $x$ 的因子来加速，复杂度不会证，但是暴力找出最劣情况发现它并不会很慢。

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E - Transitive Graph

$H$ 中存在一条边 $u\to v$ 当且仅当 $G$ 中从 $u$ 出发可以沿 $G$ 中的边到达 $v$。

于是 $G$ 的强连通分量在 $H$ 中对应一个完全图，可以按任意顺序访问其中所有点。$G$ 中不在同一强连通分量中的点对间只有单向边。

于是把 $G$ 按强连通分量缩成 DAG，定义 DAG 中每个点的 $size$ 为它对应的 SCC 的大小，权值为它对应的 SCC 中的点的权值和，$H$ 中的最长路径即为 DAG 中满足经过的点的 $size$ 之和最大的路径。这个可以用 dp 求出。要求路径权值最小则可以在 dp 的同时维护一个最小权值。

DAG 不需要建出来，因为 Tarjan 算法得到 SCC 的顺序是逆拓扑序。

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F - Local Deletions

先考虑对全局的询问（$l=1,r=n$），注意到一个点是局部最小值（最大值）时，它周围的两个点一定不是，于是每次操作留下来的数不超过原来的一半，直接暴力就是 $O(n)$ 的。

现在考虑 $l>1,r<n$ 的询问，先暴力求出全局的答案，并记录每层剩余的数。

对于第一层，发现如果一个位置 $i$ 不在询问的端点上（$i\ne l,i\ne r$）则这个位置能被保留，当且仅当在对全局操作第一次的时候，这个位置被保留。因为这个位置是否是局部最值仅由它左右两个数决定。之后每一层同理。

于是除了两边的两个点，中间的位置在操作后对应的新序列对应对全局操作后对应的新序列上的一段区间，容易二分找出下一层中新区间的端点。

对于两边的点，则视作在一个区间的左右各添加一个数，根据第一段的分析，添加的数和区间的端点至多保留其一。于是每次操作都默认区间左右端点收缩一位，并更新左右添加的数，这样就得到了一个子问题，可以递归处理。

但是当区间长度小于 $3$ 时，上面的操作就不成立了，这时直接暴力即可。

注意特判：如果添加的数和端点都不会保留，则将添加的数更新为下一层中对应新区间的对应端点，如果新区间为空，则可以直接在添加的两个数中取出答案。

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