E - Modular Sequence

题意

给定 $n,x,y,s$，求是否有长为 $n$ 的一个数列 $\{a\}$ 满足 $a_1=x$ 且 $\mathrm{\forall }i>1:a_i=a_{i-1}+y\vee a_i=a_{i-1}mody$ 且 $\sum _{i=1}^n{a}_i=s$。

$\sum n,\sum s\le 2\times {10}^5$

题解

观察到对任意的 $i$ 都有 $a_i\equiv x(\mathrm{mod}y)$，于是可以先给 $s$ 减去 $n\times (xmody)$，剩下的部分一定是非负的 $y$ 的倍数，否则显然不合法。

令 $c={\displaystyle \frac{s-n\times (xmody)}{y}},c_0=\lfloor {\displaystyle \frac{x}{y}}\rfloor$，于是问题转化为：求一个数列 $b$ 满足第一项为 $c_0$，和为 $c$，每一项要么等于前一项加一，要么为 $0$（这相当于若干个公差为 $1$ 的等差数列拼起来）。

直接考虑每个位置做 DP 最少也要 2D 的状态（位置，上一个的值），但是观察到值域很小，于是不妨交换状态和答案，设 $d{p}_i$ 表示得到和为 $i$ 的数列 $b$ 需要的最小长度。由于可以在后面补 $0$，所以有解的充要条件为 $d{p}_c\le n$。

转移考虑枚举下一个等差数列的长度，若当前计算 $d{p}_i$，枚举的长度为 $j$，则显然需要满足 $i\ge {\displaystyle \frac{j(j-1)}{2}}$，于是有 $j\le O(\sqrt{i})$，那么暴力转移即可做到 $O(s\sqrt{s})$。

由于第一个等差数列的首项比较特别，但是仅有它一个特别的，于是先暴力枚举它的长度给 $dp$ 数组赋初值即可。

于是处理一组数据的时间复杂度为 $O(n+s\sqrt{s})$。

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F - Digital Patterns

题意

给定 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 和 $b_1,b_2,\dots ,b_n$，构造 $n$ 行 $m$ 列的矩阵满足 $(i,j)$ 处的值为 $a_i+b_j$。定义答案为满足方阵中任意一条边两侧的数不同的子方阵个数。每次修改是对 $a$ 或 $b$ 中的一段区间加 $x$，求每次修改后和最初时的答案。

题解

首先考虑不带修怎么求。观察到 $(i,j)$ 处和 $(i,j+1)$ 处值相同的充要条件为 $b_j=b_{j+1}$，$(i,j)$ 和 $(i+1,j)$ 同理，于是相当于在相邻且相同的两行中间切开，相邻且相同的两列中间切开，对得到的若干子矩阵求答案并求和。

文字有点抽象，可以看样例：

设 $f(n,m)$ 表示 $n\times m$ 矩阵的子方阵数目，则样例 $1$ 的答案为 $f(1,2)+f(1,2)+f(3,2)+f(3,2)$。

考虑如何计算 $f$，容易枚举方阵大小计算，不失一般性，设 $n\le m$：

这个式子显然不好弄，我们需要更好算的式子，容易发现它是一个三次多项式，可以大力展开：

这个式子已经很简洁了。注意到只要对 $n,m$ 的大小分类讨论，并维护出它们对应的 $0$ 到 $3$ 次和就可以快速对一个固定的 $m$ 求出 $\sum _{i}f(n_i,m)$，固定的 $n$ 同理。

于是可以先对行列分别按相等位置分段，对值域开数据结构维护一个方向的长度的 $0$ 到 $3$ 次和，并依次添加另一个方向的长度，同时计算答案即可。

对于修改，首先发现区间修改是骗人的，因为我们关注的只是相邻元素是否相同，于是区间修改相当于改变左右端点处的相等情况，相当于对相等情况的两次单点改。

单点改可以等价于先删再加，删除和添加都可以根据上面的式子讨论大小关系后求出答案变化量。删除和添加的区间长度容易用 set 维护。

至此我们得到了一个常数巨大的 $O(n\log n+q\log n)$ 的做法，写得一般的线段树好像还过不了（zkw 可过），不过 $0$ 到 $3$ 次和可以用 $8$ 个 BIT 分别维护，区间加可以用两个 BIT 维护差分（只有单点查），这里 set 因为操作少所以还不算瓶颈。

Submission