数论的编程实验

算法竞赛中围绕数论三个重要问题

• 素数运算

• 求解不定方程和同余房程

• 积性函数的应用

1.素数运算实验范例

• 1).计算[2,n]区间中所有素数

• 2) 大整数素数测试

1.1 使用筛法生成[2,n]区间中所有素数

a. 最简单之埃拉托斯特尼筛法

思想：辅助数组做筛子，递增搜索筛子中最小数，把被搜索数的倍数从筛中去掉，最后留下的数字是素数

实现代码：

#include <iostream>
#define MAXN 50005
using namespace std;

bool u[MAXN];  //辅助数组做筛子
int su[MAXN]; //素数集合

void SieveOfEratosthenes(int n)
{
    int i,j,num=0;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        u[i]=true;
    }
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        su[i]=true;
    }
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(u[i])
        {
            for(j=2;j*i<=n;j++)
            {
                u[j*i]=false;
            }
        }
    }
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(u[i])
        {
            su[num++]=i;
        }
    }
}

// Test
int main()
{
    SieveOfEratosthenes(100);
    for(int i=0;i<=100;i++)
    {
        if(su[i]!=0&&su[i]!=1)
            cout<<su[i]<<endl;
    }
    return 0;
}

时间复杂度：O(n*long(long n))

b.加一点优化就是欧拉筛法

思想：埃氏筛法中，每一个合数重复计算，欧拉筛法就是优化到每一个合数仅算一次筛掉，优化算法

实现代码：

#define MAXN 50005

bool u[MAXN];  //辅助数组做筛子
int su[MAXN]; //素数集合

void SieveofEuler(int n)
{
    int i,j,num=0;
    memset(u,true,sizeof(u));
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(u[i])
        {
            su[num++]=i;
        }
        for(j=0;j<=num;j++)
        {
            if(i*su[j]>n)
            {
                break;
            }
            u[i*su[j]]=false;
            if(i%su[j]==0)
            {
                break;
            }
        }
    }
}

//Test
int main()
{
    SieveofEuler(100);
    for(int i=0;i<=100;i++)
    {
        if(su[i]!=0)
            cout<<su[i]<<endl;
    }
    return 0;
}

时间复杂度：O(n)