KMP&Z函数详解

KMP

一些简单的定义：

真前缀：不是整个字符串的前缀
真后缀：不是整个字符串的后缀

当然不可能这么简单的，来个重要的定义

前缀函数：
给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ ，其 $前缀函数$ 为一个长度为 $n$ 的数组 $\pi$ ,其中 $\pi_i$ 表示
1. 如果字串 $s[0...i]$ 存在一对相等的真前缀和真后缀 $s[0...k]~and~s[i-(k-1)...i]$ ，则 $\pi_i$ 为这个真前缀（真后缀）的长度 $k$
2. 如果有不止一对，则 $\pi_i$ 为其中最长的一对
3. 若没有最长的，则 $\pi_i=0$

简而言之， $\pi_i$ 为字串 $s[0...i]$ 最长相等的真前缀和真后缀长度

特别的，规定 $\pi_0$ =0

举个例子，对于字符串 $s=$ " $abcabcd$ ",其前缀函数 $\pi=\{0,0,0,1,2,3,0\}$

考虑如何去求前缀函数，最暴力的做法肯定使 $O(n^3)$ 的，枚举前缀位置、真前缀（真后缀）的长度和真前缀（真后缀）的每一位，代码就不放出来了（其实是没写）

优化一

我们发现当 $i+1$ 时， $\pi_i$ 最多 $+1$ ，也就是说我们枚举 $\pi_i$ 的长度时，上界为 $\pi{i-1}+1$ ，这样复杂度可以被优化为 $O(n^2)$

代码如下

void Getnex(string str){
    int len=str.size();
    nex[0]=0;
    for (int i=1;i<n;i++) {
        for (int j=nex[i-1];j>=0;j--) {
            if (str.substr(0,j)==str.substr(i-j+1,j)) {
                nex[i]=j;
                break;
            }
        }
    }
}

如何证明这个复杂度呢

我们发现每次进行一次 $substr$ 操作，都意味着 $\pi_i$ 的值都会 $-1$

显然有一种最坏的情况是， $p_i$ 的值先变成 $n-1$ ，然后再掉回 $0$

容易看出这不会超过 $O(n)$ 次，然后每次 $substr$ 的复杂度为 $O(n)$

所以总复杂度 $O(n^2)$

优化二

我们在优化一中发现了一个性质，当 $s[i+1]==s[\pi_i]$ 时， $\pi_i=\pi_{i-1}+1$

考虑把这个性质推下去，当 $s[i+1]!=s[\pi_i]$ 时

我们发现，我们要找的转移点 $j$ 是要满足 $i-1$ 的前缀性质的

即满足 $s[1...j]=s[i-(j-1)...i]$

当 $\pi_i$ 不行时我们自然要去找下一个满足性质的转移点

很容易想到这东西不就是 $\pi_{\pi_i}吗$

由于真前缀和真后缀相等，所以 $\pi_{\pi_i}$ 必然满足既是真前缀的真前缀又是真后缀的真后缀

可能有点绕，举个例子 $s=$ " $abaabaa$ "（下标从 $0$ 开始）

当我们求 $\pi_6$ 时，前面的 $\pi$ 值为

$\pi[0...5]=\{0,0,1,1,2,3\}$

我们发现 $s[6]!=s[\pi_5=3]$

那么我们就需要找到下一个转移点 $j$ 满足 $s[0...j]=s[5-(j+1)...5]$

因为 $\pi_5=3$ 所以 $s[0...5]$ 的满足前缀性质的真前缀（真后缀）为 $aba$

所以对于字符串" $aba$ "满足前缀性质的真前缀（真后缀）一定满足 $s[0...5]$ 的前缀性质

所以转移点即为 $\pi_3=\pi_{\pi_5}$

至此，求前缀函数便可以优化成 $O(n)$ 了

void Getnex(std::string S) {
    for (int i=2,j=0;i<S.size();i++) {
        while(j && S[j+1]!=S[i]) j=nex[j];
        if (S[j+1]==S[i]) j++;
        nex[i]=j;   
    }
}

前话到此完结，接下来是真正的 $KMP$

$KMP$ 是对于前缀函数的典型运用

举个例子，给定一个文本 $t$ 和字符串 $s$ ，我们尝试求出 $s$ 在 $t$ 中的所有出现

我们记 $n,m$ 为 $s$ 和 $t$ 的长度

我们构造一个字符串为 $s+$ ' $.$ ' $+t$ ，其中 $.$ 为不在 $s,t$ 中出现的分隔符

计算出这个字符串的前缀函数，考虑这个前缀函数除去前 $n+1$ 个值意味着什么

根据定义， $\pi_i$ 为右端点为 $i$ ，且为一个前缀的最长真子串长度

且由于有分割符的存在， $\pi$ 不可能超过 $n$

当 $\pi_i=n$ 时，则意味着 $s$ 在 $t$ 中完整出现一次，其右端点为 $i$

因此 $KMP$ 可以在 $O(n+m)$ 的复杂度内解决问题

void KMP(std::string S,std::string T) {
    for (int i=1,j=0;i<S.size();i++) {
        while(j && T[j+1]!=S[i]) j=nex[j];
        if (T[j+1]==S[i]) j++;
        if (j==m-1) {
            std::cout<<i-m+2<<std::endl;
            j=nex[j];
        }
    }
}

字符串的周期

定义：

对于字符串 $s$ ，若存在 $p$ 满足 $s[i]=s[i+p](i\in[0,|s|-p-1])$ ，则 $p$ 为 $s$ 的周期
对于字符串 $s$ ，若存在 $r$ 满足 $s$ 长度为 $r$ 的前缀和长度为 $r$ 的后缀相等，则称 $s$ 长度为 $r$ 的前缀是 $s$ 的 $border$

由这两个定义不难看出 $|s|-r$ 是 $s$ 的周期

根据前缀函数的定义我们可以得出 $s$ 所有 $border$ 长度，即 $\pi_{n-1},\pi_{\pi_{n-1}},...$

所以我们可以在 $O(n)$ 的时间复杂度内求出 $s$ 的所有周期

其中最小周期为 $n-\pi_{n-1}$

统计每个前缀的出现次数

以下默认字符串下标从 $1$ 开始

主要是两种问题，一个是求 $s$ 的前缀在 $s$ 中的出现次数，另一个是求 $s$ 的前缀在另一个字符串 $t$ 中的出现次数

考虑位置 $i$ 的前缀函数值 $\pi_i$ ，根据定义，其意味着字符串 $s$ 一个长度为的前缀在位置 $i$ 出现并以 $i$ 为右端点，同时不存在一个更长的前缀满足前述定义。

与此同时，更短的前缀可能以该位置为右端点。

容易看出，我们遇到了在计算前缀函数时已经回答过的问题：给定一个长度为 $j$ 的前缀，同时其也是一个右端点位于 $i$ 的后缀，下一个更小的前缀长度 $k<j$ 是多少？该长度的前缀需同时也是一个右端点为 $i$ 的后缀。

因此以位置 $i$ 为右端点，有长度为 $\pi_i$ 的前缀，有长度为 $\pi_{\pi_i}$ 的前缀，等等，直到长度变为0。

故而我们可以通过下述方式计算答案。

void Getcnt(std::string str) {
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[nex[i]]++;
    for (int i=str.size()-1;i>0;i--) ans[nex[i]]+=ans[i];
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[i]++;
}

例题：CF432D Prefixes and Suffixes

题意：

给你一个长度为n的长字符串，“完美子串”既是它的前缀也是它的后缀，求“完美子串”的个数且统计这些子串的在长字符串中出现的次数

模板题，直接写就行

#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin),freopen(#a".out","w",stdout)

const int maxn=1e5+5;
int n,nex[maxn],ans[maxn];
std::string str;

void chkmax(int &x,int y) {if (x<y) x=y;}
void chkmin(int &x,int y) {if (x>y) x=y;}
int read() {
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9' && ch>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

void Getnex(std::string s) {
    for (int i=2,j=0;i<s.size();i++) {
        while(j && s[j+1]!=s[i]) j=nex[j];
        if (s[j+1]==s[i]) j++;
        nex[i]=j;
    }
}
void out(int i,int cnt) {
    if (!i) {std::cout<<cnt<<std::endl;return ;}
    out(nex[i],cnt+1);
    std::cout<<i<<' '<<ans[i]<<std::endl;
}

int main() {
    std::cin>>str;
    str=" "+str;
    Getnex(str);
    // for (int i=1;i<str.size();i++) std::cout<<nex[i]<<' ';puts("");
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[nex[i]]++;
    for (int i=str.size();i>=1;i--) ans[nex[i]]+=ans[i];
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[i]++;
    out(str.size()-1,0);
    return 0;
}

Z函数（扩展KMP）

定义:

对于一个字符串 $s$ ， $z[i]$ 表示 $s$ 和 $s[i...n-1]$ 的 $LCP$ (最长公共前缀)的长度， $z$ 则被称为 $s$ 的 $Z$ 函数

我们在计算的时候，可以通过前面已知的 $z$ 来计算

对于 $i$ ，我们称区间 $[i,i+z[i]-1]$ 为 $i$ 的匹配段

我们在算法过程中维护右端点最靠右的匹配段，记作 $[l,r]$

则有 $[l,r]$ 为 $s$ 的前缀，并且在计算 $z[i]$ 时我们保证 $l\leq i$

算法流程

最开始时， $l=r=0$

在计算 $z[i]$ 的过程中

若 $i\leq r$ ，则有 $s[i,r]=s[i-l,r-l]$ ，所以 $z[i]\ge min(z[i-l],r-i+1)$
- 若 $z[i-l]<r-i+1$ ，则 $z[i]=z[i-l]$
- 若 $z[i-l]\ge r-i+1$ ，我们令 $z[i]=r-i+1$ ，然后暴力向后枚举字符
若 $i>r$ ，我们直接暴力从 $s[i]$ 开始比较，求出 $z[i]$
求出 $z[i]$ 后，还要更新 $l,r$

void GetZ(std::string s) {
    int l=0,r=0;
    for (int i=1;i<s.size();i++) {
        if (i<=r && z[i-l]<r-i+1) z[i]=z[i-l];
        else {
            z[i]=std::max(0,r-i+1);
            while(i+z[i]<s.size() && s[z[i]]==s[i+z[i]]) z[i]++;
        }
        if (i+z[i]-1>r) {l=i;r=i+z[i]-1;}
    }
}