虚树学习笔记
虚树定义
虚树是一棵虚拟构建的树，这棵树的特点是只包含关键点以及关键的点，这些点满足在原树中的关系，而其他点和边相当于都做了路径压缩
例题引入
题目描述
一颗树，上面有 k 个资源点，拆一些边，使得 1 号点不能到达任何资源点。现在要使得拆除的边的权值和最小。总共有 m 次询问，每次给出资源点。
题解
题目中的资源点在虚树中就相当于关键点
当我们不考虑虚树时，我们考虑怎么做这个题
我们发现可以树形DP
设\(dp[i]\)表示以\(i\)为根的子树中不与关键点连通的最小代价,\(u\)为\(i\)的儿子
则有DP方程
很显然，这样的复杂度是\(O(nm)\)的，并不符合我们的要求
我们考虑有没有更优的做法或优化
我们重新观察题面
我们发现关键点的总数量只有\(n\)
又发现我们的算法中其实有很多点的子树中并不包含关键点，也就是说根本不需要算它的\(dp\)值
因此，我们知道肯定要做出一棵很小的树来快速解决问题
而这棵树中需要储存的东西只有关键点和他们的\(LCA\)，也就是一棵虚树
这棵虚树怎么去建呢（图片来自 oi-wiki.org）
对于一个这样的图
红色是关键点，红点和黑点都是虚树中的点，黑边是虚树中的边
通过这几张图，我们具象化的了解了虚树的形状，接下来考虑如何建一棵虚树
我们不能\(O(n^2)\)求\(LCA\)，不难想到可以按照\(dfs\)序排序后求相邻的\(LCA\)
我们知道，对于一棵虚树，只要保证祖先后代关系不变即可随便加点
因此为了方便我们把根节点加进去
然后，我们来做出一个方案建立虚树
我们开一个单调栈，维护虚树上的一条链
如果当前我们要加进去的节点\(now\)，与栈顶节点\(top\)的\(LCA\)是\(top\)就直接入栈
如果不是，则弹栈直到与\(top\)的\(LCA\)为\(top\)时将\(now\)入栈
当然，在这个过程中不要忘了将栈顶与弹出的节点连边
当我们把全部过程做完后，虚树也就建好了
这时候，我们重新回到那个题
我们处理出树上每个点到根的路径上的最小值，然后直接按照我们原来的方式\(dp\)就行了
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define int long long
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin),freopen(#a".out","w",stdout)
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
int n,N,m,beg[maxn],tot,Min[maxn],fa[maxn][26],dp[maxn],dfn[maxn],cnt,a[maxn],vis[maxn],st[maxn],top,dep[maxn];
struct edge{
int nex,to,w;
}e[maxn*2];
void add(int x,int y,int z) {
e[++tot]=(edge){beg[x],y,z};
beg[x]=tot;
}
vector<int>vec[maxn*2];
void chkmax(int &x,int y) {if (x<y) x=y;}
void chkmin(int &x,int y) {if (x>y) x=y;}
int read() {
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(ch<='9' && ch>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
void dfs(int now,int Fa) {
fa[now][0]=Fa;
dfn[now]=++cnt;
dep[now]=dep[Fa]+1;
for (int i=beg[now];i;i=e[i].nex) {
int nex=e[i].to;
if (nex==Fa) continue;
chkmin(Min[nex],e[i].w);
chkmin(Min[nex],Min[now]);
dfs(nex,now);
}
}
bool cmp(int x,int y) {
return dfn[x]<dfn[y];
}
int LCA(int x,int y) {
if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for (int i=20;i>=0;i--) {
int fx=fa[x][i];
if (dep[fx]>=dep[y]) x=fx;
if (x==y) return x;
}
for (int i=20;i>=0;i--) {
if (fa[x][i]!=fa[y][i]) {
x=fa[x][i];
y=fa[y][i];
}
}
return fa[x][0];
}
void build() {
sort(a+1,a+1+N,cmp);
st[top=1]=1;
for (int i=1;i<=N;i++) {
int lca=LCA(st[top],a[i]);
if (lca!=st[top]) {
while(dfn[lca]<dfn[st[top-1]]) {
vec[st[top]].push_back(st[top-1]);
vec[st[top-1]].push_back(st[top]);
top--;
}
if (lca!=st[top-1]) {
vec[st[top]].push_back(lca);
vec[lca].push_back(st[top]);
st[top]=lca;
}
else {
vec[st[top]].push_back(lca);
vec[lca].push_back(st[top]);
top--;
}
}
st[++top]=a[i];
}
for (int i=1;i<top;i++) {
vec[st[i]].push_back(st[i+1]);
vec[st[i+1]].push_back(st[i]);
}
}
void init() {
for (int j=1;j<=20;j++)
for (int i=1;i<=n;i++) fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
}
int solve(int now,int Fa) {
int ans=0,res=0;
for (int i=0;i<vec[now].size();i++) {
int nex=vec[now][i];
if (nex==Fa) continue;
res+=solve(nex,now);
}
if (vis[now]) ans=Min[now];
else ans=min(Min[now],res);
vec[now].clear();
vis[now]=0;
return ans;
}
signed main() {
file(luogu2495);
n=read();
memset(Min,0x3f,sizeof(Min));
for (int i=1;i<n;i++) {
int x=read(),y=read(),w=read();
add(x,y,w);add(y,x,w);
}
dfs(1,0);
init();
m=read();
while(m--) {
N=read();
for (int i=1;i<=N;i++) a[i]=read(),vis[a[i]]=1;
build();
cout<<solve(1,1)<<endl;
for (int i=1;i<=N;i++) vis[a[i]]=0;
}
return 0;
}
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