圆方树学习笔记
双连通分量
定义
对于无向图中两点\(u,v\)，若无论删去哪条边都不能使其不连通，则称\(u,v\)边双连通
对于无向图中两点\(u,v\)，若无论删去哪个点都不能使其不连通，则称\(u,v\)点双连通
边双连通
我们发现使两点不连通的边其实就是桥（割边）
所以我们只需要把桥删了即可
void tarjan(int now,int fa) {
dfn[now]=low[now]=++cnt;
for (int i=beg[now];i;i=e[i].nex) {
int nex=e[i].to;
if (nex==fa) continue;
if (!dfn[nex]) {
tarjan(nex,now);
chkmin(low[now],low[nex]);
if (dfn[now]<low[nex]) e[i^1].cut=e[i].cut=1;
}
else chkmin(low[now],dfn[nex]);
}
}
void dfs(int now,int fa,int C) {
col[C].push_back(now);
bel[now]=C;
for (int i=beg[now];i;i=e[i].nex) {
int nex=e[i].to;
if (nex==fa || bel[nex] || e[i].cut) continue;
dfs(nex,now,C);
}
}
点双连通
我们发现，两个点双一定有一个割点连接，且这个割点被两个点双包含，所以我们可以直接根据强连通分量的方式，把点入栈，然后找到割点就不停弹出点，并全部存入点双
void tarjan(int now,int Fa) {
dfn[now]=low[now]=++cnt;st[++top]=now;
if (now==Fa && !beg[now]) col[++tot].push_back(now);
for (int i=beg[now];i;i=e[i].nex) {
int nex=e[i].to;
if (nex==Fa) continue;
if (!dfn[nex]) {
tarjan(nex,now);
chkmin(low[now],low[nex]);
if (dfn[now]<=low[now]) {
++tot;
while(1) {
col[++tot].push_back(st[top]);
if (st[top]==nex) {top--;break;}
top--;
}
col[tot].push_back(now);
}
}
else chkmin(low[now],dfn[nex]);
}
}
圆方树
圆方树主要用于处理仙人掌图（每条边在不超过一个简单环中的无向图）的问题
在刚刚的点双基础上，我们来构建一棵圆方树
我们将原来的点看做一个圆点，对于一个点双建一个方点，方点向该点双里的每个圆点连边
那么，每个点双就是一个菊花，然后整张图是由割点连接很多菊花
当原图是一个联通图时，我们构建的图就是一棵树
然后，我们考虑如何实现这个构建过程
由于圆方树基于点双，所以在求点双的过程中可以建出这棵树
void tarjan(int now,int fa) {
dfn[now]=low[now]=fa;
if (now==fa && !beg[now]) {
cntcol++;
E[cntcol].push_back(now);
E[now].push_back(cntcol);
}
st[++top]=now;
for (int i=beg[now];i;i=e[i].nex) {
int nex=e[i].to;
if (nex==fa) continue;
if (!dfn[nex]) {
tarjan(nex,now);
chkmin(low[now],low[nex]);
if (low[nex]<=dfn[now]) {
cntcol++;
while(1) {
E[cntcol].push_back(st[top]);
E[st[top]].push_back(cntcol);
if (st[top]==nex) {top--;break;}
top--;
}
E[cntcol].push_back(now);
E[now].push_back(cntcol);
}
else chkmin(low[now],dfn[nex]);
}
}
}
性质
对于一个点双中的两个点，他们之间简单路径的并集，恰好等于这个点双
考虑如何证明这个性质
首先，一条路径如果出了点双，一定不能再回来，否则违背了点双定义
基于此点，我们只需要证明一个点双中任意三个不同点\(x,y,z\)，一定存在一条路径可以从\(x\)，经过\(y\)，到达\(z\)
考虑网络流
从源点向\(y\)建一条流量为\(2\)的边
从\(x,z\)向汇点连一条流量为\(1\)的边
对于图中的无向边就建两条流量为\(1\)的边
然后，因为每个点只能经过一次，所以我们要限制每个点只能流\(1\)
所以我们拆点，对于点\(i\)与\(i'\)连一条流量为\(1\)的边
那么如果最后的最大流为\(2\)，就说明一定经过了\(y\)
根据最大流最小割定理，显然最小割时小于\(2\)的，所以我们要证明最小割大于\(1\)
这个证明等价于网络流中割掉任何一个点无法使图不连通
分类讨论一下
如果删掉\(x,z\)向汇点的边，根据点双定义，一定存在一条路径从\(y\)连向另一个每删边的点
如果删掉一个点拆点的边，因为点双是没有割点的图，所以剩下的图一定联通
如果删掉原图中的边，这跟点双定义，也是联通的
所以，最大流等于\(2\)
所以证毕