leetcode 730. 统计不同回文子序列(区间dp,字符串)
题目链接
https://leetcode-cn.com/problems/count-different-palindromic-subsequences/
题意
给定一个字符串,判断这个字符串中所有的回文子序列的个数。注意回文子序列不一定连续,可以删除某些字符得到。重复的回文字符串只计算一次。
思路:
动态规划,难点:
- 回文字符串怎么判重
- 动态规划的转移方程怎么推导
在这里我们假设dp[i][j]表示从[i,..,j]字符串中含有的不重复回文字符串的总数,那么首先来看边界条件:
如果每个字符串只有一个字符,显然dp[i][i]=1
如果含有多个字符,这时候我们根据这个字符串的首尾字符s[i],s[j]是否相同分类讨论:
- 如果s[i]!=s[j],那么dp[i][j]表示的总个数,显然可以由dp[i+1][j]+dp[i][j-1]-dp[i+1][j-1]转化而来,两者减去中间重复的值
- 如果s[i]==s[j],这时候就可能出现重复的情况:
利用双指针的思想,设low=i+1,high=j-1
while(low<=high && s[low]!=s[j]) low++;
while(low<=high && s[high]!=s[j]) high--;
找到左右两边分别第一个和s[i]相同的字符
- 如果low>high,比如aba, 这时候dp[i][j]<--dp[i+1][j-1]*2+2 //*2的原因,可以看成dp[i+1][j-1],两端加或者不加s[i]的结果;+2的原因,可看成s[i],s[i]s[i]多于两种情况的结果
- 如果low==high, 比如aaa,以此类推,dp[i][j]<--dp[i+1][j-1]*2+1; //有重复
- 如果low<high,比如aabaa,以此类推, dp[i][i]<--dp[i+1][j-1]*2-dp[low+1][high-1];//中间b这一部分算了两遍
class Solution {
public:
//朴素解法: O(N^2*N)==>假算法,朴素解法应该是O(2^N)
//O(N^2)预处理所有情况,然后O(N^2)判断,用unordered_set统计 =>时间复杂度O(N^2)==>假算法,因为回文子序列并不一定连续。。。
//正解:区间dp, 状态转移方程真不好想
//难点:
//1. 如何去重
//如果推出dp[i][j]的转移方程,dp[i][j] 从[i,..,j]中不同回文字符串的个数,答案dp[0][n-1]
//三种情况,对应三种不同的例子:aaa, aba, aacaa
const int Mod=1e9+7;
int countPalindromicSubsequences(string S){
int n=S.size();
vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(n+1,0));
//单独一个字符
for(int i=0;i<n;i++) dp[i][i]=1;
for(int len=1;len<n;len++){
for(int i=0;i<n;i++){
int j=i+len;
if(j>=n) break;
if(S[i]==S[j]){//最复杂的情况,需要判重
int low=i+1;
int high=j-1;
while(low<=high && S[low] !=S[j]) low++;
while(low<=high && S[high] !=S[j]) high--;
//根据low和high的最终位置分类讨论
if(low>high) {//例子:aba
dp[i][j]=dp[i+1][j-1]*2+2;//两端相等 {b,aba,a,aa}
}
else if(low==high){//例子:aaa {a,aaa,aa}
dp[i][j]=dp[i+1][j-1]*2+1;
}
else{//例子:aabaa 有重复{b}这个位置重复了一次
//aba: {b,aba,a,aa}
//aabaa: {b,aba,a,aa; aba ,aabaa,aaa,aaaa, a,aa}
dp[i][j]=dp[i+1][j-1]*2-dp[low+1][high-1];
}
}
else{
//上一个状态[i,j]=[i,j-1]+[i+1,j]-[i+1,j-1]
dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i][j-1]-dp[i+1][j-1];
}
dp[i][j]=dp[i][j]<0?dp[i][j]+Mod:dp[i][j]%Mod;//防止溢出
}
}
return dp[0][n-1];
}
// const int Mod=1e9+7;
// int countPalindromicSubsequences(string S) {
// int n=S.size();
// vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n,0));
// //处理长度为2时候对应的情况
// for(int i=0;i<n-1;i++){
// dp[i][i]=1;
// if(S[i]==S[i+1]) dp[i][i+1]=1;
// }
// dp[n-1][n-1]=1;
// //长度3以上的情况
// for(int len=3;len<n;len++){
// for(int i=0;i+len-1<n;i++){
// int j=i+len-1;
// if(S[i]==S[j] && dp[i+1][j-1]) dp[i][j]=1;
// }
// }
// //统计
// unordered_set<string> st;
// int ans=0;
// for(int i=0;i<n;i++){
// for(int len=1;len<n;len++){
// int j=i+len-1;
// if(j>=n) break;
// string tmp=S.substr(i,len);
// if(!st.count(tmp) && dp[i][j]){
// cout<<tmp<<"\n";
// ans=(ans+1)%Mod;
// st.insert(tmp);
// }
// }
// }
// return ans;
// }
};