随机信号功率谱密度估计
随机信号功率谱密度估计
--By xzd1575
一、实验目的
1.深入理解随机信号功率谱密度估计
2.掌握在Matlab平台上进行信号功率谱密度估计的基本方法
二、实验原理
1. 随机信号功率谱密度定义
定义随机信号信号的功率谱为
其中为随机信号的自相关函数。
功率谱反映了信号的功率在频域随频率分布,因此又称为功率谱密度。[1]
2. 经典谱估计(非参数谱估计)方法简介
经典谱估计的方法主要包括两种方法:周期图法和自相关法。
周期图法[1](直接法)
周期图法又称为直接法,它是把随机信号的N点观察数据视为一个能量有限信号,直接取的傅里叶变换,得,然后再取其幅值的平方,并除于N,作为对真实功率谱的估计。以表示用周期图法估计的功率谱,则
自相关法[1](间接法)
此方法的理论基础是维纳-辛钦定理。1958年Blackman和Tukey 给出了这一种方法的具体实现,即由估计出自相关函数,然后对的功率谱,记之为,并以此作为对的估计,即
因为这种方法求出的功率谱是通过自相关函数间接得到的,所以称为间接法,又称自相关法或BT法。当M较小时,上式计算量不是很大,因此,该方法是在FFT问世之前(即周期图法被广泛应用之前)常用的谱估计方法。
3. 参数模型谱估计方法简介[1]
参数模型法是现代谱估计的主要内容,参数模型法的思路如下。
三、实验步骤
1. 构造模拟信号
构造模拟信号
2. 使用经典谱估计方法对信号进行谱估计
1) 周期图法
Matlab中Prierdogram()函数就是运用周期图法进行谱估计。调用格式如下:
[psdestx,Fxx] = periodogram(xn,rectwin(length(xn)),length(xn),Fs);
其中输入参数xn为待估计的离散信号,rectwin(length(xn))表示窗长为xn点的矩形窗(rectangle window),Fs表示采样频率。
输出参数Fxx表示频率,psdestx为对应Fxx频率的功率谱密度。
为了使周期图法得到的功率谱密度更为平滑,提出了许多改进的方法,Welch平均周期图法就是其中一种,在matlab中pwelch()函数就是使用该方法进行功率谱估计,pwelch()函数的调用格式如下:
pwelch(xn,hamming(256),128,1024,Fs)
输入参数xn为输入信号,hamming(256)为窗长为256的汉明窗,Fs为信号采样频率。调用后可绘制得到信号功率谱密度图,如需要观察得到的功率谱密度数值,可以添加相应的输出参数,相应可以参阅matlab帮助文档。
2) 相关函数法
相关函数法是先求信号是自相关函数,再根据维纳辛欣定理,功率谱密度就是自相关函数的傅里叶变换,对自相关函数求傅里叶变换,得到功率谱密度。
需要用到matlab中xcorr()函数,其调用格式如下:
cx=xcorr(xn,'biased');
其中输入参数xn为待求自相关函数的信号,'biased'表示使用有偏差的自相关函数求法。
输出参数cx即为信号xn的自相关函数。
3. 使用现代谱估计方法对信号进行谱估计
伯格(Brug)谱估计是一种AR谱估计方法,可调用matalb中pburg函数,其调用格式如下:
pburg(xn,5,1024,Fs)
输入参数xn为信号,Fs为采样频率。调用后可绘制得到信号功率谱密度图,如需要观察得到的功率谱密度数值,可以添加相应的输出参数,相应可以参阅matlab帮助文档。
四、实验结果与分析
1. 经典谱估计方法和现代谱估计方法比较
图4.1 不同功率谱估计方法比较
如图4.1所示,对比周期图法(periodogram)和平均周期图法(Welch),验证了Welch法得到的图要比周期图法得到的功率谱密度图光滑。自相关法和周期图法得到的功率谱估计在140Hz和150Hz处锋比较尖锐,频率分辨率要比Welch平均周期图法高。现代AR谱估计Brug方法同样可以在140Hz和150Hz处得到尖锐的谱峰,同时其估计的功率谱密度图也很平滑。
2. AR谱估计中模型阶数对谱估计结果的影响
(a) (b) (c)
图4.2 AR模型阶数对谱估计的影响
(a)5阶 (b)14阶 (c)20阶
如图4.2,对比不同AR模型阶数对功率谱估计的影响,发现阶数较低时,在140Hz-150Hz频率范围左右,只出现一个谱峰,没有得到实际的两个谱峰,频率分辨率不够,随着模型阶数的增加,到阶数达到14时,可以有效地区分140Hz和150Hz处的两个谱峰,有较好的频率分辨率,随着模型阶数的继续增加,在真峰(140Hz和150Hz)附近的假峰会随着增多。
五、实验结论
通过对比经典和现代不同谱估计方法,可以发现,现代谱估计方法既有较好的频率分辨率,又是能使功率谱密度较为平滑,可以很到的得到信号谱峰。
现代AR谱估计中,模型的阶数选择是一个很重要的问题,选择合适的阶数,可以有效的检查出有效信号的谱峰,如果模型阶数过低,则频率分辨率不够,可能会丢失有效信号谱峰,如果模型阶数过高,则可能出现假峰。
六、参考文献
[1] 胡广书. 数字信号处理:理论、算法与实现(第三 版)[M]. 北京:清华大学出版社,2012.
七、附录
Matlab 实验程序
%% 构造模拟信号
close all
Fs = 1000; % Sampling frequency
t = (0:Fs)/Fs; % One second worth of samples
A = [1 2 3]; % Sinusoid amplitudes
f = [150;140]; % Sinusoid frequencies
x = A*sin(2*pi*f*t);%1*sin(2*pi*150*t)+2*sin(2*pi*140*t)
xn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t));
figure(1)
plot(t(1:200),xn(1:200));
xlabel('Time(s)')
ylabel('x(t)')
title('Signal x(t) with Additional Gussian White Noise')
set(gcf,'color',[1 1 1]);
%% 周期图法
figure(2);
subplot(2,2,1)
[psdestx,Fxx] = periodogram(xn,rectwin(length(xn)),length(xn),Fs);
plot(Fxx,10*log10(psdestx)); grid on;
xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Power/frequency (dB/Hz)');
title('Periodogram Power Spectral Density Estimate');
axis([0 500 -60 10])
%% 自相关函数法(BT法)
subplot(2,2,2)
cx=xcorr(xn,'biased'); %计算自相关函数
cxdft = fft(cx);
psdx = abs(cxdft)/Fs;
freq = 0:Fs/length(psdx):Fs/2;
plot(freq,10*log10(psdx(1:length(freq)))); grid on;
title('AutoCorrelation Power Spectral Density Estimate');
xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Power/frequency (dB/Hz)');
axis([0 500 -60 10])
%% Welch 平均周期法
subplot(2,2,3)
pwelch(xn,hamming(256),128,1024,Fs);
axis([0 500 -60 10])
%% Burg法 AR参数谱估计
figure(2)
subplot(2,2,4)
pburg(xn,14,1024,Fs)
axis([0 500 -60 10])
set(gcf,'color',[1 1 1]);
%% 讨论不同的AR阶数对Brug法的影响
figure(3)
subplot(1,3,1)
pburg(xn,5,1024,Fs)
axis([0 500 -60 10])
title('Order 5')
subplot(1,3,2)
pburg(xn,14,1024,Fs)
axis([0 500 -60 10])
title('Order 14')
subplot(1,3,3)
pburg(xn,20,1024,Fs)
axis([0 500 -60 10])
title('Order 20')
set(gcf,'color',[1 1 1]);