[学习笔记]一个多项式黑科技

引入

• 给定一个少项式 \(m\) 次多项式 \(A(x)\)，求 \(A^k(x)\) 的 \(0\sim n\) 次项

• 对质数取模，保证 \(A(x)\) 的常数项不为 \(0\)

做法

• 倍增快速幂是 \(O(n\log k\log n)\) 的

• 下面介绍一种 \(O(nm+\log k)\) 的做法

• 考虑对 \(A^k(x)\) 求导：

• \[A^k(x)'=kA^{k-1}(x)A'(x) \]

• \[A^k(x)'A(x)=kA^k(x)A'(x) \]

• 考虑等号左右两边的 \(n\) 次项：

• \[\sum_{i=0}^n(i+1)res_{i+1}a_{n-i}=k\sum_{i=0}^n(i+1)a_{i+1}res_{n-i} \]

• 注意到等号左边只有 \(n-m\le i\le n\) 是有用的，右边只有 \(0\le i<m\) 是有用的，故：

• \[res_{n+1}=\frac{k\sum_{i=0}^{m-1}(i+1)a_{i+1}res_{n-i}-\sum_{i=n-m}^{n-1}(i+1)res_{i+1}a_{n-i}}{(n+1)a_0} \]

• 用上式即可在 \(res_{0\dots n}\) 已知的条件下递推出 \(res_{n+1}\)，特殊地 \(res_0=a_0^k\)

• 复杂度 \(O(nm+\log k)\)

• UPD：从这个递推式进行归纳，可以得到一个结论：当 \(a_0=1\) 时，\([x^n]A^k(x)\) 是一个关于 \(k\) 的 \(n\) 次多项式