[学习笔记]吉司机线段树

引入

经典问题：给定一个序列，支持区间取 \(\min\)（给定 \(l,r,x\) 把所有满足 \(l\le i\le r\) 的 \(a_i\) 改成 \(\min(a_i,x)\)）和区间求和
要求在 \(O((n+q)\log n)\) 的时间内解决

算法流程

吉司机线段树是一种势能线段树，可以实现区间取 \(\min/\max\) 区间求和
以 \(\min\) 为例，线段树上每个节点维护四个值：
（1）\(mx\)：区间最大值
（2）\(cnt\)：区间最大值的出现次数
（3）\(md\)：区间次大值（严格小于最大值且最大的数）
（4）\(sum\)：区间和
实现区间取 \(\min\) 时，递归到线段树上一个包含于询问区间的节点 \(p\) 时，进行如下处理：
（1）若 \(x\ge mx_p\)，则显然这次修改不影响节点 \(p\)，直接 return
（2）若 \(x\le md_p\)，则暴力往 \(p\) 的左右子节点递归
（3）否则 \(md_p<x<mx_p\)，这次修改对 \(sum_p\) 可以计算出为 \(cnt_p\times(mx_p-x)\)，打标记即可
考虑说明这个算法的复杂度。
注意到区间取 \(\min\) 只会把区间内不同的数逐渐变成相同的
易得对于线段树上一个节点 \(p\)，一次修改操作最多只会让节点 \(p\) 代表的区间内不同数的种类数增加 \(1\)
而修改操作时被暴力递归到的节点代表的区间内，不同数的种类数必然有减少
也就是说，所有节点不同数种类数之和最多增加 \(O(q\log n)\) 次，必然也最多减少 \(O((n+q)\log n)\) 次
故总时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)

与区间加的结合

吉司机线段树也可以和区间加相结合，只需多一个加法标记即可
不过值得注意的是：如果有区间加操作则复杂度要多一个 \(\log\)
分析略

CF1290E Cartesian Tree

题意

给定一个 \(n\) 元排列 \(p\)
对于每个 \(1\le i\le n\)，求出这个排列中所有 \(\le i\) 的数构成的序列（维持相对位置关系）的笛卡尔树（是大根堆）所有节点的子树大小之和
\(1\le n\le 150000\)

做法

对于一个 \(n\) 个元素的序列 \(a\)，其笛卡尔树上节点 \(i\) 的子树大小为 \(nxt_i-pre_i-1\)（\(pre_i\) 和 \(nxt_i\) 分别为 \(a_i\) 左边和右边第一个大于 \(a_i\) 的位置，如果不存在则分别为 \(0\) 和 \(n+1\)）
于是 \(i\) 从小到大维护所有 \(pre\) 和 \(nxt\) 的和即可
但为了方便维护，我们不动态维护序列，而是在一个长度为 \(n\) 的序列上把所有数从小到大激活，并且把 \(pre\) 和 \(nxt\) 重新定义：
若 \(i\) 的左边第一个比它大的被激活的位置为 \(j\)，则 \(pre_i\) 等于 \(j\) 及其右边被激活的总个数，如果 \(j\) 不存在则 \(pre_i\) 为所有被激活的个数加 \(1\)
若 \(i\) 的右边第一个比它大的被激活的位置为 \(j\)，则 \(nxt_i\) 等于 \(j\) 及其左边被激活的总个数，如果 \(j\) 不存在则 \(nxt_i\) 为所有被激活的个数加 \(1\)
这样可以算出如果已经加入了前 \(i\) 小的数则答案为 \(\sum_j(pre_j+nxt_j)-i^2-2i\)
当第 \(i\) 次在序列上第 \(x\) 位的数被激活（也就是 \(p_x=i\)）时：
\(pre_x=nxt_x=i+1\)，可以直接处理
若 \(y<x\)，则 \(nxt_y\) 的值应当对 \(c\) 取 \(\min\)（\(c\) 为位置 \(x\) 左边被激活的数的个数，包括 \(x\) 本身）
若 \(y>x\)，则 \(nxt_y\) 应当加 \(1\)
也就是要实现区间取 \(\min\) 和区间加，吉司机线段树维护即可，\(pre\) 同理
\(O(n\log^2n)\)

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define p2 p << 1
#define p3 p << 1 | 1

template <class T>
inline void read(T &res)
{
	res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	if (bo) res = ~res + 1;
}

template <class T>
inline T Max(const T &a, const T &b) {return a > b ? a : b;}

template <class T>
inline T Min(const T &a, const T &b) {return a < b ? a : b;}

typedef long long ll;

const int N = 15e4 + 5, M = 6e5 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, p[N], A[N];

void change(int x, int v)
{
	for (; x <= n; x += x & -x)
		A[x] += v;
}

int ask(int x)
{
	int res = 0;
	for (; x; x -= x & -x) res += A[x];
	return res;
}

struct elem
{
	int mx, cnt, md;
	
	friend inline elem operator + (elem a, elem b)
	{
		elem res;
		if (a.mx > b.mx) res = a, res.md = Max(a.md, b.mx);
		else if (a.mx < b.mx) res = b, res.md = Max(a.mx, b.md);
		else res = a, res.cnt = a.cnt + b.cnt, res.md = Max(a.md, b.md);
		return res;
	}
};

struct seg
{
	elem T[M]; int add[M], tag[M], cnt[M]; ll sum[M];
	
	void build(int l, int r, int p)
	{
		T[p] = (elem) {-INF, 0, -INF}; add[p] = 0; tag[p] = INF;
		if (l == r) return;
		int mid = l + r >> 1;
		build(l, mid, p2); build(mid + 1, r, p3);
	}
	
	void down(int p)
	{
		T[p2].mx += add[p]; T[p2].md += add[p]; sum[p2] += 1ll * cnt[p2] * add[p];
		add[p2] += add[p]; tag[p2] += add[p];
		T[p3].mx += add[p]; T[p3].md += add[p]; sum[p3] += 1ll * cnt[p3] * add[p];
		add[p3] += add[p]; tag[p3] += add[p];
		if (tag[p] < T[p2].mx) sum[p2] -= 1ll * T[p2].cnt * (T[p2].mx - tag[p]),
			tag[p2] = T[p2].mx = tag[p];
		if (tag[p] < T[p3].mx) sum[p3] -= 1ll * T[p3].cnt * (T[p3].mx - tag[p]),
			tag[p3] = T[p3].mx = tag[p];
		add[p] = 0; tag[p] = INF;
	}
	
	void upt(int p)
	{
		cnt[p] = cnt[p2] + cnt[p3]; sum[p] = sum[p2] + sum[p3];
		T[p] = T[p2] + T[p3];
	}
	
	void unlock(int l, int r, int pos, int v, int p)
	{
		if (l == r) return (void) (cnt[p] = T[p].cnt = 1, T[p].mx = sum[p] = v);
		int mid = l + r >> 1; down(p);
		if (pos <= mid) unlock(l, mid, pos, v, p2);
		else unlock(mid + 1, r, pos, v, p3);
		upt(p);
	}
	
	void change(int l, int r, int s, int e, int v, int p)
	{
		if (e < l || s > r) return;
		if (s <= l && r <= e) return (void) (add[p] += v, tag[p] += v,
			T[p].mx += v, T[p].md += v, sum[p] += 1ll * cnt[p] * v);
		int mid = l + r >> 1; down(p);
		change(l, mid, s, e, v, p2); change(mid + 1, r, s, e, v, p3);
		upt(p);
	}
	
	void modify(int l, int r, int s, int e, int v, int p)
	{
		if (e < l || s > r) return;
		if (s <= l && r <= e && v > T[p].md)
		{
			if (v < T[p].mx) sum[p] -= 1ll * T[p].cnt * (T[p].mx - v),
				tag[p] = T[p].mx = v;
			return;
		}
		int mid = l + r >> 1; down(p);
		modify(l, mid, s, e, v, p2); modify(mid + 1, r, s, e, v, p3);
		upt(p);
	}
} T1, T2;

int main()
{
	int x;
	read(n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) read(x), p[x] = i;
	T1.build(1, n, 1); T2.build(1, n, 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		change(p[i], 1); int c = ask(p[i]);
		T1.modify(1, n, 1, p[i], c, 1); T1.change(1, n, p[i], n, 1, 1);
		T2.modify(1, n, p[i], n, i - c + 1, 1); T2.change(1, n, 1, p[i], 1, 1);
		T1.unlock(1, n, p[i], i + 1, 1); T2.unlock(1, n, p[i], i + 1, 1);
		printf("%lld\n", T1.sum[1] + T2.sum[1] - 1ll * i * (i + 2));
	}
	return 0;
}

区间 K 小值

题意

一个长度为 \(n\) 的序列，所有数都是 \([1,n]\) 内的正整数
\(n\) 次操作，每次操作为区间取 \(\min\) 或求区间第 \(k\) 小值
\(1\le n,m\le 8\times10^4\)

做法

容易想到位置线段树套权值线段树
查询时把询问区间拆成的 \(O(\log n)\) 个外层节点拎出来，在这些节点内嵌的线段树上二分即可
对于修改，外层的线段树是可以打上取 \(\min\) 的标记的，但这里存在的问题是：对于打上标记的节点，其祖先节点内嵌的线段树无法快速实现修改。
于是考虑和吉司机线段树一样的思想：把相同的数放到一起修改。
修改时对于在外层线段树上拆出的所有 \(O(\log n)\) 个节点，找出这个节点上所有本质不同的大于 \(x\) 的数，在这个节点及其祖先上把这些数改为 \(x\) 即可
注意到每把这个节点内本质不同的数的个数减 \(1\)，都要在 \(O(\log n)\) 棵内层线段树上做修改，也就是需要 \(O(\log^2n)\) 的复杂度
故总复杂度 \(O((n+q)\log^3n)\)

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define p2 p << 1
#define p3 p << 1 | 1

template <class T>
inline void read(T &res)
{
	res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	if (bo) res = ~res + 1;
}

template <class T>
inline T Min(const T &a, const T &b) {return a < b ? a : b;}

const int N = 8e4 + 5, M = N << 2, L = 3e7 + 5;

int n, m, a[N], rt[M], tag[M], ToT, tot, pt[N], nc, del[L], qaq, pos[N], val[N];

struct seg
{
	int lc, rc, sum;
} T[L];

inline int newnode() {return nc ? del[nc--] : ++ToT;}

inline void delnode(int p) {T[p].lc = T[p].rc = T[p].sum = 0; del[++nc] = p;}

void change(int l, int r, int pos, int v, int &p)
{
	if (!v) return;
	if (!p) p = newnode(); T[p].sum += v;
	if (l == r) return;
	int mid = l + r >> 1;
	if (pos <= mid) change(l, mid, pos, v, T[p].lc);
	else change(mid + 1, r, pos, v, T[p].rc);
}

void dfs(int p)
{
	if (!p) return;
	dfs(T[p].lc); dfs(T[p].rc);
	delnode(p);
}

int ask(int l, int r, int x, int p)
{
	if (l == r) return 0;
	int mid = l + r >> 1, res;
	if (x <= mid) res = ask(l, mid, x, T[p].lc) + T[T[p].rc].sum,
		dfs(T[p].rc), T[p].rc = 0;
	else res = ask(mid + 1, r, x, T[p].rc);
	return T[p].sum = T[T[p].lc].sum + T[T[p].rc].sum, res;
}

void zzq(int x, int &p) {change(1, n, x, ask(1, n, x, p), p);}

void build(int l, int r, int p)
{
	tag[p] = n;
	for (int i = l; i <= r; i++) change(1, n, a[i], 1, rt[p]);
	if (l == r) return;
	int mid = l + r >> 1;
	build(l, mid, p2); build(mid + 1, r, p3);
}

void down(int p)
{
	tag[p2] = Min(tag[p2], tag[p]);
	tag[p3] = Min(tag[p3], tag[p]);
	zzq(tag[p], rt[p2]); zzq(tag[p], rt[p3]);
	tag[p] = n;
}

void zhouzhouzka(int l, int r, int x, int p)
{
	if (x > r || !T[p].sum) return;
	if (l == r) return (void) (pos[++qaq] = l, val[qaq] = T[p].sum);
	int mid = l + r >> 1;
	zhouzhouzka(l, mid, x, T[p].lc);
	zhouzhouzka(mid + 1, r, x, T[p].rc);
}

void getmin(int l, int r, int s, int e, int x, int p)
{
	if (e < l || s > r) return;
	if (s <= l && r <= e)
	{
		tag[p] = Min(tag[p], x); qaq = 0; zhouzhouzka(1, n, x + 1, rt[p]);
		zzq(x, rt[p]);
		for (int i = 1; i <= qaq; i++)
			for (int q = p >> 1; q; q >>= 1)
				change(1, n, pos[i], -val[i], rt[q]),
					change(1, n, x, val[i], rt[q]);
		return;
	}
	int mid = l + r >> 1; down(p);
	getmin(l, mid, s, e, x, p2); getmin(mid + 1, r, s, e, x, p3);
}

void czx(int l, int r, int s, int e, int x, int p)
{
	if (e < l || s > r) return;
	if (s <= l && r <= e) return (void) (pt[++tot] = rt[p]);
	int mid = l + r >> 1; down(p);
	czx(l, mid, s, e, x, p2); czx(mid + 1, r, s, e, x, p3);
}

int query(int l, int r, int k)
{
	tot = 0; czx(1, n, l, r, n, 1);
	int d = 0;
	for (int i = 1; i <= tot; i++) d += T[pt[i]].sum;
	l = 1; r = n;
	while (l < r)
	{
		int delta = 0, mid = l + r >> 1;
		for (int i = 1; i <= tot; i++) delta += T[T[pt[i]].lc].sum;
		if (k <= delta)
		{
			r = mid;
			for (int i = 1; i <= tot; i++) pt[i] = T[pt[i]].lc;
		}
		else
		{
			k -= delta; l = mid + 1;
			for (int i = 1; i <= tot; i++) pt[i] = T[pt[i]].rc;
		}
	}
	return l;
}

int main()
{
	int op, l, r, x;
	read(n); read(m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
	build(1, n, 1);
	while (m--)
	{
		read(op); read(l); read(r); read(x);
		if (op == 1 && x > n) x = n;
		if (op == 1) getmin(1, n, l, r, x, 1);
		else printf("%d\n", query(l, r, x));
	}
	return 0;
}

posted @ 2020-03-29 13:41 epic01 阅读(2864) 评论(0) 编辑收藏举报

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e-pi-i-1-0

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