[学习笔记][组合数学]卡特兰数的一个组合意义

引入

• 卡特兰数 \(Cat_n\) 的定义为 \(n\) 个 \(1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 构成的，任意前缀和不小于 \(0\) 的序列个数

• 众所周知卡特兰数有通项公式：

• \[Cat_n=\frac{\binom{2n}n}{n+1} \]

• 可以通过容斥来推导（在任意 \(n\) 个 \(1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 构成的序列中，找到第一个小于 \(0\) 的前缀和设其位置为 \(i\) ，将序列 \([1,i]\) 内的数全部取反）

• 不过这里讲一种比较巧妙的组合意义

前置定理

• 对于一个 \(n\) 个 \(1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 构成的序列 \(s\) ，存在一个 \(0\le i<2n\) 使得 \(s_{i+1\dots 2n}+s_{1\dots i}\) （即 \(i\) 次循环位移之后）的任意前缀和不小于 \(0\)

• 证明：将 \(i\) 定为 \(s\) 最小前缀和的位置，分 \([i+1,2n]\) 和 \([1,i]\) 两类讨论可以得出任意前缀和不小于 \(0\)

组合意义

• 下面为了方便，假设所有 \(n\) 个 \(1\) 都是不一样的，所有 \(n\) 个 \(-1\) 也都是不一样的（即 \(n\) 个 \(1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 组成的数组，所有 \(n!\) 种重排的方案中有多少种满足任意前缀和不为负），最后除以 \((n!)^2\) 即可，设所有的 \(1\) 标号从 \(1\) 到 \(n\) ，所有的 \(-1\) 标号从 \(n+1\) 到 \(2n\)

• 考虑在末尾再加一个标号为 \(2n+1\) 的 \(-1\) ，组成一个环

• 考虑如何从环上删掉一个 \(-1\) ，构成一个合法的卡特兰序列

• 相当于以任意位置破环为链形成一个长度为 \(2n+1\) 的序列之后，选取一个 \(1\le i\le 2n+1\) 使得 \(s_{i+1\dots 2n+1}+s_{1\dots i}\) 的任意前缀和（最后一个位置除外）不为负

• 类似于前置定理中提到的内容，我们可以找到一个 \(i\) 使得 \(s\) 前 \(i\) 个数的和最小（有多个则取 \(i\) 最小者），易得取这个 \(i\) 是唯一合法的

• 故一个环存在唯一的删掉一个 \(-1\) 的方法使其变成合法的序列

• 而我们需要保证删掉 \(-1\) 之后剩下的数标号必须从 \(1\) 到 \(2n\) ，也就是这个唯一的 \(-1\) 标号必须为 \(2n+1\)

• 故所有的 \(2n+1\) 个元素的环中，平均 \(n+1\) 个环中就有一个合法的环

• 于是我们得出：

• \[Cat_n=\frac{(2n)!}{(n+1)(n!)^2}=\frac{\binom{2n}n}{n+1} \]

拓展

• 卡特兰数的容斥推导和上面介绍的推导各有不同的拓展空间，下面的题目是这个组合意义的一个拓展

清华集训2016 你的生命已如风中残烛

题意

• 有 \(m=\sum_{i=1}^nw_i\) 个数，前 \(n\) 个中第 \(i\) 个为 \(w_i-1\) ，剩下的 \(m-n\) 个数都是 \(-1\)

• 求对这 \(m\) 个数 \(m!\) 种重排的方案中，有多少种满足重排后的序列任意前缀和不为负

• \(n\le 40,1\le w_i\le 10^5\)

做法

• 和上面卡特兰数的组合意义推导一样，在序列的最后放上一个标号为 \(m+1\) 的 \(-1\) ，组成一个环

• 易得对于一个环，删掉一个 \(-1\) 构成合法序列的方案是唯一的

• 于是我们的要求就变成了限制这个唯一的 \(-1\) 的标号必须为 \(m+1\)

• 而这个环上 \(-1\) 的个数为 \(m-n+1\)

• 故答案为 \(\frac{m!}{m-n+1}\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

template <class T>
inline void read(T &res)
{
	res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	if (bo) res = ~res + 1;
}

const int rqy = 998244353;

int n, m, ans = 1;

int main()
{
	int x;
	read(n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) read(x), m += x;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		if (i != m - n + 1) ans = 1ll * ans * i % rqy;
	return std::cout << ans << std::endl, 0;
}