浅谈同余1(常用定理和乘法逆元)

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$L A T E X$ 太多了，分成几个部分
0x00 总写(瞎说)

同余是数学中非常重要的东西，这里会写出同余的基本运用

若 $a mod m = b mod m$ 则称 $a, b$ 模 $m$ 同余，记做 $a \equiv b (\mod m)$

0x10 欧拉定理和推论，费马小定理
欧拉定理:
若正整数 $a, n$ 互质，则 $a^{φ (n)} \equiv 1 (\mod n)$

不会证明

费马小定理:
若 $p$ 是质数，则对于任意正整数 $a$ ,有 $a^{p} \equiv a (\mod p)$

欧拉定理左右两边乘上 $p$ 就是费马小定理

欧拉定理的推论
若正整数 $a, n$ 互质，则对于任意正整数 $b$ ,有 $a^{b} \equiv a^{b mod φ (n)} (\mod n)$

证明:
设 $b = q \times φ (n) + r$ , 其中 $0 \leq r < φ (n)$ , 即 $r = b mod φ (n)$
于是: $a^{b} \equiv a^{q \times φ (n) + r} \equiv (a^{{φ (n)}^{q}}) \times a^{r} \equiv 1^{q} \times a^{r} \equiv a^{r} \equiv a^{b mod φ (n)} (\mod n)$
证毕

所以乘方级的取模为: $a mod n^{b mod φ (n)}$

0x10 乘法逆元
若正整数 $b, m$ 互质，并且 $b | a$ , 则存在一个整数 $x$ , 使得 $a \div b \equiv a \times x (\mod m)$
称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 乘法逆元，记做 $b^{- 1} mod m$

因为 $a \div b \equiv a \times b^{- 1} \equiv a \div b \times b \times b^{- 1} (\mod m)$ ,所以 $b \times b^{- 1} (\mod m)$

如果 $m$ 是质数并且 $b < m$ ,根据费马小定理， $b^{m - 1} \equiv 1 (\mod m)$ ,即 $b \times b^{p - 2} \equiv 1 (\mod m)$
因此，当模数 $m$ 为质数时， $b^{m - 2}$ 即为 $b$ 的乘法逆元,可以用快速幂来解决

$C o d e$ :

int gcd(int a, int b) {
    return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);
}

int fast_power(int a, int b, int p) {
    if (gcd(a, p) > 1) return -1;
    
    a %= p;
    int res = 1;
    
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % p;
        
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    
    return res;
}

t = fast_power(a, p - 2, p);

但是当 $m$ 不是质数且 $b, m$ 互质时，费马小定理不再适用，要用扩展欧几里得算法计算同余方程
$b \times x \equiv 1 (\mod m)$

线性求 $1 \sim n$ 乘法逆元

$i n v (i) = - ⌊ \frac{p}{i} ⌋ \times i n v (p mod i) mod p$

证明有空补
只能用这种方法，别的算法都比这些要求一串要慢。

#### $C o d e$ :

res[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
    res[i] = (long long)(p - p / i) * res[p % i] % p;
    printf("%lld\n", res[i]);
}

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本文作者：xyy's blog
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