洛谷 P2398. GCD SUM

题目描述

求

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(i,j)$$

输入:
2

输出:
5

算法1 线性筛 $O(n)$

将式子变形:

要知道一个前置定理
$\sum _{d|n}\phi (d)=n$

艾弗森约定:
定义 $[P]$ = $$\{\begin{array}{l}Pistrue1\\ Pisfalse0\end{array}$$

 

 

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(i,j)$$

 

$$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{k|gcd(i,j)}\phi (k)$$

 

$$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{k|i,k|j}\phi (k)$$

 

$$=\sum _{k=1}^n\phi (k)\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[k|i][k|j]$$

$$=\sum _{k=1}^n\phi (k)\lfloor \frac{n}{k}\rfloor \lfloor \frac{n}{k}\rfloor$$

就可以$O(n)$预处理欧拉函数然后$O(\sqrt{n})$数论分块过掉了

$Code:$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

typedef long long LL;

int n;
int primes[N], cnt;
LL phi[N], sum[N];
bool st[N];

void init(int n)
{
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        sum[i] = sum[i - 1] + phi[i];
}

int main()
{
    init(N - 1);
    
    scanf("%d", &n);
    LL res = 0;
    
    for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
    {
        r = n / (n / l);
        res += (sum[r] - sum[l - 1]) * (n / l) * (n / l);
    }
    
    printf("%lld", res);
    
    return 0;
}

 

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本文作者：xyy's blog
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