Codeforces Round 962 (Div. 3) D. Fun 题解

写在前面的话

想了一个小时，第一次写这种题，也算是学到了。可惜这个题本来不难的，没有写出来。但是觉得特别好，于是记下，希望对我和大家都有帮助！

题意

给你两个不等式：

\[ \begin{cases} a \ast b + a \ast c + b \ast c \leq n \\ \tag1 a + b + c \leq x \end{cases} 其中 1 \leq a , b , c , x , n \leq 10 ^ 6 \]

给出 \(x , n\) 要求出符合不等式组的三元组\((a , b, c)\) , 其中$(1 , 2 , 1) , (1 , 1 , 2) $不被认为是同一组解。
约束： 对于T组测试点满足 ， \(1 \leq \sum_{i=1}^{T}x_i , \sum_{i=1}^{T}n_i \leq 10 ^ 6\)

思路

观察不等式 ， 我们可以发现因为\(a \ast c + a \ast b + b \ast c\)这种特殊结构 , 所以\((1 , 2 , 1), (1 , 1 , 2)\) 结果相同 ， 它们等价。
观察数据范围 ，\(10 ^ 6\) 大概率是 \(O(n)\) 到 \(O(nlogn)\) 的做法合理.
观察到 \(3 \leq a + b + c \leq x\) 这也是一个性质 , 但是貌似和解题没什么关系。
观察到 , 如果\(a \ast b + a \ast c + b \ast c \leq n\) 成立 ，那么 \(a \ast b \leq n\) 也一定成立。假设我们现在枚举 a , 然后看看最多有多少合法的 b。

结论:

• 对于\(\forall a\) 最多有 \(O(logn)\) b 成立

那么我们只需要暴力枚举 a , b 即可 ， 如果发现不等式不满足 ，直接放弃更大b的枚举。——因为两个不等式左边是单调的。
将不等式变形 ， 所以答案是

\[ \sum_{a=1} ^{n} \sum_{b=1}^{\lfloor \frac{n}{a} \rfloor} min({\lfloor \frac{n - a \ast b}{a + b} \rfloor} , x - a - b) \tag2 \]

因为C 最小取 1 ， 我们只需要找到满足两个等式的C最大取多少。将所有的\(a , b\) 都枚举完 ， 统计贡献即可。

时间复杂度证明

首先我们试着找到 b 最多枚举多少个 , 由上 \(a \ast b \leq n\)

\[ b \leq \lfloor \frac{n}{a} \rfloor \tag3 \]

我们知道 b 最多枚举 这么多 ， 但是这不够显然！
我们可以尝试先暴力 ， 枚举 a , b.
那么我们可以得到答案为以下等式：

\[ \sum_{a=1}^a\sum_{b=1}^{\lfloor \frac{n}{a} \rfloor} ((a * b + b * c + a * c) \leq n \&\& (a + b + c) \leq x) \tag4 其中表达式成立结果为 1 , 否则为 0 . \]

Note: 为了保证取到最多的b使得上式尽量成立 , 我们取 \(C := C_{min}\) 即 1。
我们可以通过放缩得到下式:

\[\sum_{a=1}^a\sum_{b=1}^{\lfloor \frac{n}{a} \rfloor} ((a * b + b * c + a * c) \leq n \&\& (a + b + c) \leq x) \leq \sum_{a=1}^a \ast {\lfloor \frac{n}{a} \rfloor} \tag5 \]

\[\sum_{a=1}^a \ast {\lfloor \frac{n}{a} \rfloor} \leq n * \sum_{a=1}^n \frac{1}{a} \tag6 \]

\[ \sum_{a=1}^n \frac{1}{a} = 1 + (ln^n - ln^2) \tag7 \]

对于右边的等式我们发现是一个调和级数 对于\(\forall a\), 我们最多可以取到\(O(logn)\)个b , 所以最后的时间复杂度是
\(O(nlogn)\)的。

至此，证毕！

后文

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