三维无限深势阱的标准解

一、问题描述

考虑一个粒子被限制在三维无限深方势阱中，势阱在三个方向上的边界分别为：

• $0\le x\le L_x$
• $0\le y\le L_y$
• $0\le z\le L_z$

在势阱内部（即 $0\le x\le L_x$、$0\le y\le L_y$、$0\le z\le L_z$），势能 $V=0$；而在势阱外部，势能 $V=\mathrm{\infty }$。

二、薛定谔方程

在三个方向上无限深且相互独立的势阱中，三维时间无关薛定谔方程可以分离为三个一维问题。薛定谔方程表达式为：

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (x,y,z)=E\psi (x,y,z)$$

其中，${\mathrm{\nabla }}^2$ 是拉普拉斯算子，$\psi$ 是波函数，$E$ 是能量本征值。波函数可以表示为三个方向上波函数的乘积：

$$\psi (x,y,z)={\psi }_x(x){\psi }_y(y){\psi }_z(z)$$

代入薛定谔方程，得到：

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{d^2{\psi }_x}{d{x}^2}{\psi }_y{\psi }_z+{\psi }_x\frac{d^2{\psi }_y}{d{y}^2}{\psi }_z+{\psi }_x{\psi }_y\frac{d^2{\psi }_z}{d{z}^2})=E{\psi }_x{\psi }_y{\psi }_z$$

分离变量后得到三个独立的方程：

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{{\psi }_x}\frac{d^2{\psi }_x}{d{x}^2}=E_x$$

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{{\psi }_y}\frac{d^2{\psi }_y}{d{y}^2}=E_y$$

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{{\psi }_z}\frac{d^2{\psi }_z}{d{z}^2}=E_z$$

满足总能量为：

$$E=E_x+E_y+E_z$$

三、一维无限深势阱的解

首先，考虑沿 $x$ 方向的一维无限深势阱，其边界条件为：

$${\psi }_x(0)={\psi }_x(L_x)=0$$

对应的时间无关薛定谔方程为：

$$\frac{d^2{\psi }_x}{d{x}^2}+k_x^2{\psi }_x=0$$

其中，$k_x=\sqrt{\frac{2m{E}_x}{{\hslash }^2}}$。方程的通解为：

$${\psi }_x(x)=A\sin (k_{x}x)+B\cos (k_{x}x)$$

根据边界条件：

1. ${\psi }_x(0)=0$ 导致 $B=0$
2. ${\psi }_x(L_x)=0$ 导致 $\sin (k_x{L}_x)=0$，即 $k_x{L}_x=n_x\pi$，其中 $n_x=1,2,3,\dots$

因此：

$$k_x=\frac{n_x\pi }{L_x}$$

归一化波函数为：

$${\psi }_x(x)=\sqrt{\frac{2}{L_x}}\sin \left(\frac{n_x\pi x}{L_x}\right)$$

对应的能量为：

$$E_x=\frac{{\hslash }^2{k}_x^2}{2m}=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}_x^2}{2m{L}_x^2}$$

类似地，沿 $y$ 和 $z$ 方向的一维无限深势阱的波函数和能量分别为：

$${\psi }_y(y)=\sqrt{\frac{2}{L_y}}\sin \left(\frac{n_y\pi y}{L_y}\right),E_y=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}_y^2}{2m{L}_y^2}$$

$${\psi }_z(z)=\sqrt{\frac{2}{L_z}}\sin \left(\frac{n_z\pi z}{L_z}\right),E_z=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}_z^2}{2m{L}_z^2}$$

四、三维无限深势阱的解

将三个方向的波函数组合起来，得到三维波函数：

$$\psi (x,y,z)=\sqrt{\frac{8}{L_x{L}_y{L}_z}}\sin \left(\frac{n_x\pi x}{L_x}\right)\sin \left(\frac{n_y\pi y}{L_y}\right)\sin \left(\frac{n_z\pi z}{L_z}\right)$$

对应的总能量为：

$$E=E_x+E_y+E_z=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m}(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}+\frac{n_z^2}{L_z^2})$$

五、总结

通过分离变量法，我们成功地将三维无限深势阱的问题分解为三个独立的一维问题，并得到了粒子的波函数和能量本征值。