2020杭电多校第八场 1011-Kidnapper's Matching Problem 线性基+kmp

1011-Kidnapper's Matching Problem

题意

给两个长度分别为\(n\)和\(m\)的数组\(a,b\)，和一个集合\(S\)，\(a\)中一个长度为\(m\)的子段和\(b\)匹配需满足\(a_l \oplus b_1,a_{l+1}\oplus b_2,\dots,a_{l+m-1} \oplus b_m\)都能被集合\(S\)中的若干个数异或得到。

计算

\[\sum_{i = 1}^{n - m + 1} [(a_i, a_{i + 1}, \cdots, a_{i + m - 1}) \text{ matches } b] \cdot 2^{i - 1} \bmod (10^9 + 7) \]

分析

考虑如何判断 \(x \oplus y \in 2_{\oplus}^{S}\)．先求出 \(S\) 的线性基 \(B\)．
断言．假设 \(x, y\) 消去 \(B\) 中的位后得到的数分别为 \(x ′ , y′\) , 那么 \(x \oplus y \in 2_{\oplus}^{S}\) 的充要条件是 \(x ′ = y ′\)．

充分性: \(x \oplus y\) 必然能写成 \(x ′ \oplus y ′\) 再异或上 \(B\) 中的一些数的形式．在 \(x ′ = y ′\) 时即 \(x \oplus y \in 2_{\oplus}^{S}\)．

必要性: 考虑反证．因为 \(x ′ , y′\) 都不包含 \(B\) 中的位, 所以 \(x ′ \oplus y ′\) 不包含 \(B\) 中的位．又因为 \(x ′ \ne y ′\) , 所以 \(x ′ \oplus y ′\) 非零, 那么 \(x ′ \oplus y ′\) 一定包含 \(B\) 无法表示的位, 所以 \(x \oplus y \notin 2_{\oplus}^{S}\)． 接下来问题就变简单了．我们只需要把序列 \(a, b\) 都消去 \(B\) 中的位, 然后做 \(KMP\) 即可．时间复杂度 \(O((N + M + K)log V )\)．

Code

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define per(i,n,x) for(int i=n;i>=x;i--)
#define sz(a) int(a.size())
#define rson mid+1,r,p<<1|1
#define pii pair<int,int>
#define lson l,mid,p<<1
#define ll long long
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define se second
#define fi first
using namespace std;
const double eps=1e-8;
const int mod=1e9+7;
const int N=2e5+10;
const int inf=1e9;
int T,n,m,k;
int a[N],b[N],nex[N];
int p[40];
ll f[N];
void ins(int x){
    per(i,29,0) if(x>>i&1){
        if(!p[i]){
            p[i]=x;
            break;
        }
        x^=p[i];
    }
}
int gao(int x){
    per(i,29,0) if(x>>i&1){
        x^=p[i];
    }
    return x;
}
int main(){
    //ios::sync_with_stdio(false);
    //freopen("in","r",stdin);
    f[0]=1;
    rep(i,1,200000) f[i]=f[i-1]*2%mod;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        memset(p,0,sizeof(p));
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
        rep(i,1,m) scanf("%d",&b[i]);
        rep(i,1,k){
            int x;
            scanf("%d",&x);
            ins(x);
        }
        rep(i,1,n) a[i]=gao(a[i]);
        rep(i,1,m) b[i]=gao(b[i]);
        for(int i=2,j=0;i<=m;i++){
            while(j&&b[j+1]!=b[i]) j=nex[j];
            if(b[j+1]==b[i]) ++j;
            nex[i]=j;
        }
        ll ans=0;
        for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
            while(j&&b[j+1]!=a[i]) j=nex[j];
            if(b[j+1]==a[i]) ++j;
            if(j==m){
                ans=(ans+f[i-m])%mod;
                j=nex[j];
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}