实对称矩阵特征值的微分

考虑矩阵A的第p个特征值$\lambda_p$及属于它的特征向量$v_p$， \begin{align} A v_p = \lambda_p v_p \end{align} 等式两边同时取微分 \begin{align} (dA) v_p + A d v_p = (d\lambda_p) v_p + \lambda_p d v_p， \end{align} 等式两边同时乘以$v_p^T$得 \begin{align}\label{eq:vpt} v_p^T (dA) v_p + v_p^T A d v_p = v_p^T (d\lambda_p) v_p + v_p^T \lambda_p d v_p = (d\lambda_p) (v_p^T v_p) + \lambda_p (v_p^T d v_p ), \end{align} 根据A的实对称属性，可知第一个等号左边$v_p^T A = (A^T v_p)^T = (A v_p)^T = \lambda_p v_p^T$, 带入(\ref{eq:vpt})式得 \begin{align} v_p^T (dA) v_p + \lambda_p (v_p^T d v_p ) = (d\lambda_p) (v_p^T v_p) + \lambda_p (v_p^T d v_p ), \end{align} 根据特征向量$v_p$的长度恒为1，可以计算上式中 $v_p^T d v_p$满足如下关系： \begin{align} 0 = d 1 = d \|v_p\|_2^2 = 2 (v_p^T d v_p), \end{align} 因此有 \begin{align} v_p^T (dA) v_p = d\lambda_p \cdot 1 . \end{align}