整除问题（王道*）

题目描述

　　给定n,a求最大的k，使n！可以被a^k整除但不能被a^(k+1)整除。

输入

　　两个整数n(2<=n<=1000)，a(2<=a<=1000)

输出

　　一个整数

样例输入

　　6 10

样例输出

　　1

 

#include <iostream>
#include<string.h>
#include<cstdio>
using namespace std;

bool mark[1010];
int prime[1010];
int primesize;

void init(){
    primesize = 0;
    for(int i=2;i<=1000;i++){
        if(mark[i])
            continue;
        prime[primesize++] = i;
        for(int j=i*i;j<=1000;j+=i)
            mark[j] = true;
    }
}//筛选素数

int cnt[1010];
int cnt2[1010];

int main()
{
    int n,a;
    init();
    scanf("%d %d",&n,&a);
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    memset(cnt2,0,sizeof(cnt2));
    for(int i=0;i<primesize;i++){
        int t=n;
        while(t){//确定素数prime[i]在n中的因子数
            cnt[i] += t/prime[i];
            t /= prime[i];
        }//依次计算t/prime[i]^k，累加其值，直到t/prime[i]^k变为0
    }
    int ans = 123123123;//答案初始值为一个大整数，为取最小值做准备
    for(int i=0;i<primesize;i++){//对a分解素因数
    while(a % prime[i] == 0){
        cnt2[i]++;
        a /= prime[i];
    }//计算a中素因数prime[i]对应的幂指数
    if(cnt2[i] == 0)//若该素数不能从a中分解到，即其对应的幂指数为0，跳过
        continue;
    if(cnt[i]/cnt2[i] < ans)//计算素数prime[i]在两个数中因子数的商
        ans = cnt[i]/cnt2[i];//统计这些商的最小值
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

 

要确定最大的非负整数k，只需要依次测试a中每一个素因数，确定b中该素因数对应的幂指数是a中幂指数的几倍，倍数最小的那个就是需要的k。

不能计算出n！之后再进行分解质因数，n！实在是太大了。。。

试着考虑一下n！中含有素因数p的个数，即确定素因数p对应的幂指数。我们可以知道，n！包含了1到n区间的所有证书的乘积，这些乘积中每一个p的倍数都对n！贡献了至少一个p因子，且从1到n中p的倍数共有n/p（整数除法）个，则p的因子数至少为n/p个，即有n/p个整数至少贡献了一个p因子。那么所有p*p的倍数将为n！贡献至少两个p因子，这样的整数有n/(p*p)个，依此类推。