A*搜索算法

A*搜索算法是最短路径问题中另一个非常经典的算法。该算法综合了Best-First Search和Dijkstra算法的优点：在进行启发式搜索提高算法效率的同时，可以保证找到一条最优路径（基于评估函数）。

在此算法中，如果以\(g(n)\)表示从起点到任意顶点\(n\)的实际距离，\(h(n)\)表示任意顶点\(n\)到目标顶点的估算距离（根据所采用的评估函数的不同而变化），那么A*算法的估算函数为：

\[f(n) = g(n)+h(n) \]

这个公式遵循以下特性：

• 如果\(g(n)\)为0，即只计算任意顶点\(n\)到目标的评估函数\(h(n)\)，而不计算起点到顶点\(n\)的距离，则算法转化为使用贪心策略的最良优先搜索，速度最快，但可能得不出最优解；
• 如果\(h(n)\)不大于顶点\(n\)到目标顶点的实际距离，则一定可以求出最优解，而且\(h(n)\)越小，需要计算的节点越多，算法效率越低，常见的评估函数有——欧几里得距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离；
• 如果\(h(n)\)为0，即只需求出起点到任意顶点\(n\)的最短路径\(g(n)\)，而不计算任何评估函数\(h(n)\)，则转化为单源最短路径问题，即Dijkstra算法，此时需要计算最多的顶点；

伪代码：

function A*(start,goal)
    closedset := the empty set                 //已经被估算的节点集合
    openset := set containing the initial node //将要被估算的节点集合，初始只包含start
    came_from := empty map
    g_score[start] := 0                        //g(n)
    h_score[start] := heuristic_estimate_of_distance(start, goal)    //通过估计函数 估计h(start)
    f_score[start] := h_score[start]            //f(n)=h(n)+g(n)，由于g(n)=0，所以省略
    while openset is not empty                 //当将被估算的节点存在时，执行循环
        x := the node in openset having the lowest f_score[] value   //在将被估计的集合中找到f(x)最小的节点
        if x = goal            //若x为终点，执行
            return reconstruct_path(came_from,goal)   //返回到x的最佳路径
        remove x from openset      //将x节点从将被估算的节点中删除
        add x to closedset      //将x节点插入已经被估算的节点
        for each y in neighbor_nodes(x)  //循环遍历与x相邻节点
            if y in closedset           //若y已被估值，跳过
                continue
            tentative_g_score := g_score[x] + dist_between(x,y)    //从起点到节点y的距离
 
            if y not in openset          //若y不是将被估算的节点
                add y to openset         //将y插入将被估算的节点中
                tentative_is_better := true     //暂时判断为更好
            elseif tentative_g_score < g_score[y]         //如果起点到y的距离小于y的实际距离
                tentative_is_better := true         //暂时判断为更好
            else
                tentative_is_better := false           //否则判断为更差
            if tentative_is_better = true            //如果判断为更好
                came_from[y] := x                  //将y设为x的子节点
                g_score[y] := tentative_g_score    //更新y到原点的距离
                h_score[y] := heuristic_estimate_of_distance(y, goal) //估计y到终点的距离
                f_score[y] := g_score[y] + h_score[y]
    return failure
 
function reconstruct_path(came_from,current_node)
    if came_from[current_node] is set
        p = reconstruct_path(came_from,came_from[current_node])
        return (p + current_node)
    else
        return current_node