LeetCode——零钱兑换 II

Q：给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2:
输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:
输入: amount = 10, coins = [10]
输出: 1

A：
1.回溯法
超时。
为避免重复的情况（【1,2】和【2,1】），设定coins是递增的，且设定一个index，只能使用index后的coin进行组装。

    private int sum;
//    private ArrayList<Integer> array = new ArrayList<>(); //查看实际情况
    public int change(int amount, int[] coins) {
        if (amount == 0)
            return 1;
        else if (coins.length == 0)
            return 0;
        sum = 0;
        Arrays.sort(coins);
        coin(amount, coins, 0);
        return sum;
    }

    private void coin(int amount, int[] coins, int index) {//设定index，保证递增存入
        if (amount == 0) {
            sum++;
            return;
        }
        for (int i = index; i < coins.length; i++) {
            if (amount >= coins[i]) {
                amount -= coins[i];
//                array.add(coins[i]);
                coin(amount, coins, i);
//                array.remove(array.size() - 1);
                amount += coins[i];
            }
        }
    }

2.动态规划
完全背包问题。
dp[i][j]的定义如下：
若只使用前i个物品，当背包容量为j时，有dp[i][j]种方法可以装满背包。
换句话说，翻译回我们题目的意思就是：
若只使用coins中的前i个硬币的面值，若想凑出金额j，有dp[i][j]种凑法。

经过以上的定义，可以得到：
base case 为dp[0][..] = 0， dp[..][0] = 1。因为如果不使用任何硬币面值，就无法凑出任何金额；如果凑出的目标金额为 0，那么“无为而治”就是唯一的一种凑法。
我们最终想得到的答案就是dp[N][amount]，其中N为coins数组的大小。
大致的伪码思路如下：

int dp[N+1][amount+1]
dp[0][..] = 0
dp[..][0] = 1

for i in [1..N]:
    for j in [1..amount]:
        把物品 i 装进背包,
        不把物品 i 装进背包
return dp[N][amount]

如果你不把这第i个物品装入背包，也就是说你不使用coins[i]这个面值的硬币，那么凑出面额j的方法数dp[i][j]应该等于dp[i-1][j]，继承之前的结果。
如果你把这第i个物品装入了背包，也就是说你使用coins[i]这个面值的硬币，那么dp[i][j]应该等于dp[i][j-coins[i-1]]。

    public int change(int amount, int[] coins) {
        if (amount == 0)
            return 1;
        else if (coins.length == 0)
            return 0;
        int[][] dp = new int[coins.length + 1][amount + 1];
        for (int i = 1; i <= coins.length; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 1; i <= coins.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= amount; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];//不加入这枚硬币
                if (j - coins[i - 1] >= 0)//加入这枚硬币
                    dp[i][j] += dp[i][j - coins[i - 1]];                    
            }
        }
        return dp[coins.length][amount];
    }

3.转成一维数组

int change(int amount, int[] coins) {
    int n = coins.length;
    int[] dp = new int[amount + 1];
    dp[0] = 1; // base case
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 1; j <= amount; j++)
            if (j - coins[i] >= 0)
                dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i]];

    return dp[amount];
}