堆排序

堆的定义

简单来说，堆就是一种有特定约束的完全二叉树。堆要求堆中所有父节点的值大于等于其左右孩子的值，或者小于等于左右孩子的值。前一种被称为大顶堆，后一种被称为小顶堆。

 

建堆和调整

　　因为是完全二叉树，可以用数组存储堆这种数据结构，那么我们要怎么样将一个数组中的元素成一个堆呢？其实很简单，只要对每个非叶子节点进行调整，调整的方法如下：

　　1. 如果该节点的值满足堆的定义(大于等于或小于等于其左右节点的值)，则不调整

　　2. 若不满足，则需要将它和对应的节点互换(如果两个节点都不满足，则选择更大或者更小的一个)

　　3. 交换以后，若子树根节点不是叶子节点，进一步对子树进行1,2步骤操作

调整的顺序是从后往前的，即从最后一个非叶子节点开始调整，一直到根节点调整完毕为止。

下面我们举一个具体的例子，看一下堆排序的调整过程(假设一个堆是大顶堆)，初始数组为45，35，78，28，69，44，17，17，98：

1. 将一个初始的数组转换为完全二叉树的形式

 

2. 从第一个非叶子节点可以调整，也就是28，将它和98交换

 

 3. 继续调整下一个非叶子节点，该节点值为78，大于其左右节点的值，满足大顶堆的定义，所以不用调整。

 4. 调整下一个非叶子节点，35<98且98>69,所以和98的节点交换，交换以后该子树也满足大顶堆的要求。不用继续交换。

 5. 调整根节点，该节点小于左孩子98，与之交换，交换以后发现左子树根节点的值依然小于其右孩子的值，再与之交换。

 至此建堆完成。

堆排序

　　从上面的代码可以看出，在一个建好的堆中，堆顶元素肯定是数组中最大的元素，所以我们拿堆顶元素和堆的最后一个元素交换，该元素的位置随即被确定下来。堆中元素数量减一。然后因为刚刚的交换，堆的性质被破坏，要进行调整。调整时只需要调整根节点即可，因为其他节点没有被替换过，必然符合堆的定义。

1. 交换

 

2. 调整根节点 

 由此可见，堆排序每次确定一个元素在序列中的位置，然后调整堆，循环这个过程，直到所有元素的位置都被确定下来。

 实现堆排序的代码如下：

void heapAdjust(int a[],int i,int length)
{
    int tmp = a[i];
    for(int k=2*i+1;k<length;k = 2*k+1)
    {
        if(k+1<length&&a[k+1]>a[k])
            k++;
        if(tmp>a[k])
            break;
        a[i] = a[k];
        i = k;
    }
    a[i] = tmp;
}
void heapSort(int a[],int length)
{
    for(int i=(length-1)/2;i>=0;i--)   
    {
        heapAdjust(a,i,length);
    }
    for(int i=length-1;i>=0;i--)
    {
        swap(a[0],a[i]);
        heapAdjust(a,0,i);
    }
}

堆排序的应用

堆常被应用于实现优先队列，C++ STL中的priority_queue就是通过堆实现的。

时间复杂度

堆排序也是一种O(nlogn)时间复杂的的算法

稳定性

堆排序是一种不稳定的排序方法。