卡特兰数

我们称一个长度为 2n 的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

1. 它是从 1 到 2n 共 2n 个整数的一个排列 {ai}；
2. 所有的奇数项满足 a1<a3<⋯<a2n−1 ，所有的偶数项满足 a2<a4<⋯<a2n；
3. 任意相邻的两项 a2i−1 与 a2i (1≤i≤n) 满足奇数项小于偶数项，即：a2i−1<a2i。

任务是：对于给定的 n，请求出有多少个不同的长度为 2n 的有趣的数列。

因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 modP 的值。

1|0输入格式

只包含用空格隔开的两个整数 n 和 P。

2|0输出格式

仅含一个整数，表示不同的长度为 2n 的有趣的数列个数 modP 的值。

3|0数据范围

1≤n≤106,2≤P≤109

4|0输入样例：

3 10

5|0输出样例：

5

6|0样例解释

对应的 5 个有趣的数列分别为 {1,2,3,4,5,6},{1,2,3,5,4,6},{1,3,2,4,5,6},{1,3,2,5,4,6},{1,4,2,5,3,6}。

难度：中等

时/空限制：1s / 64MB

总通过数：1138

总尝试数：1814

来源：《信息学奥赛一本通》,HNOI2009

算法标签

核心思路：看到组合数学无非就那么些方法，隔板法，还有就是卡特兰数。但是我们很难发现哪些是需要用到卡特兰数的。所以我们必须对它的性质进一步推导

卡特兰数的定义：以走网格为例，从格点(0,0)走到(n,n),只能向右和向上走，并且不可以越过y=x这条直线的条数，这就是卡特兰数记为$H_n$.我们把0记为向上走，1记为向右走，所以也就是前缀0的次数不可以大于1的次数。

也就是这个题目：[01序列](找不到页面 - AcWing)

通项公式：(1)$H_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$ (2)$H_n=C_{2n}^n/(n+1)$ (3)$H_n=\frac{4n-2}{n+1}{H}_{n-2}$.

通俗点讲就是一种操作数不可以超过另外一种，或者两种操作数不可以有交集，这些操作就是合法的方案数，也就是卡特兰数

接下来知道这个背景后我们该怎么做题呢，我们随意构造一项会发现$H_3=5$,注意我们是有$H_0$的，所以这是我们的第四项。然后我们就初步猜想这是卡特兰数。进一步通过性质验证。

我们先把前$1\sim 5\mathrm{个}\mathrm{数}$放入我们要构造的数列。如果前缀奇数项个数大于偶数项个数就无法构造。

比如：1 3 2 4 _ 5

此时奇数项cnt(1,2,5)=3>偶数项cnt(2,4).就会出现中间那个数无法构造了。注意我们这里的奇数项和偶数项是指每一项的下标，而不是下标对应的数。其实我们也可以把这个奇数和偶数出现的次序看成01序列的操作。

这个是题目背景：董晓算法

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10;
int n, mod;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
int get(int n, int p)//求n中p的质因数的个数
{
	int s = 0;
	while (n)
	{
		s += n / p;
		n /= p;
	}
	return s;
}
void Inite(int n)
{
	for (int i = 2;i <= n;i++)
	{
		if (!st[i])
			primes[cnt++] = i;
		for (int j = 0;primes[j] * i <= n;j++)
		{
			st[primes[j] * i] = 1;
			if (i % primes[j] == 0)
				break;
		}
	}
}
int qmi(int a, int b)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			res = (LL)res * a % mod;
		b >>= 1;
		a = (LL)a * a % mod;
	}
	return res;
}
int C(int a,int b)
{
	int res = 1;
	for (int i = 0;i < cnt;i++)
	{
		int p = primes[i];
		int s = get(a, p) - get(a - b, p) - get(b, p);
	res=(LL)res*qmi(p,s)%mod;
	}
	return res;
}
int main()
{
	cin >> n >> mod;
	Inite(n*2);
	cout << (C(2 * n, n) - C(2 * n, n - 1) + mod) % mod;
}

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本文作者：肖英豪
本文链接：https://www.cnblogs.com/xyh-hnust666/p/16927428.html
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