费马定理

1|0费马小定理

如果p是质数，并且a,p互质，那么$a^{p-1}=1(\mathrm{mod}m)$

证明：

我们需要先构造一个与p互质的数列$A=1,2,3,\cdots ,p-1$.然后想办法往我们的目标去靠拢，于是我们接下来只需要证明:$\prod _{i=1}^{p-1}a\ast A_i=\prod _{i=1}^{p-1}{A}_i(\mathrm{mod}m)$,

然后我们只需要证明$a\ast A_i\mathrm{和}{A}_i\mathrm{的}\mathrm{余}\mathrm{数}\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{样}\mathrm{的}\mathrm{就}\mathrm{说}\mathrm{明}\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立},\mathrm{也}\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{证}\mathrm{明}a\ast A_i\mathrm{的}\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{余}\mathrm{数}\mathrm{都}\mathrm{是}\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{样}\mathrm{的}$

我们可以使用反证法来证明，也就是如果是一样，那么:$a\ast A_i=px+r,a\ast A_j=py+r;$

两式相减就会发现：$a\ast (A_i-A_j)=p(x-y)$,但是很显然a和$A_i-A_j$都不是p的倍数，所以显然不成立。

接下来原式子：$a^{p-2}\prod _{i=1}^{p-1}{A}_i=\prod _{i=1}^{p-1}{A}_i(\mathrm{mod}p)$

所以得证。

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本文作者：肖英豪
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