【数据结构】树状数组

引入

对于一个数列S=a1+a2+...+a_k+...+a_{n，我们有以下操作}

1.区间求和：如要算[3,n-1]区间的和，则可以用前缀和S_n-1 - S₃

2.对于a_k，我们要加上d，则可以直接对a_k进行操作

对于单步操作，如区间求和，它的时间复杂度为O（n），更新某个值为O（1）。但这仅仅是对于单步操作而言，若允许两个操作都进行，则时间复杂度就不止于此。于是，我们引进了树状数组，它的时间复杂度只有O（log₂n）。

具体操作

首先，我们定义数组sum为前缀和，再定义数组tree（其作用后面会讲）,ai为具体的值。首先看一张图：

 

 图中，我们可以清晰地知道，tree[1]=a1，tree[2]=a1+a2,tree[3]=a3,tree[4]=a4+a3+a2+a1,tree[5]=a5,tree[6]=a5+a6,  .........。那为什么tree是这样赋值的呢?我们可以观察到

8=1000，此时tree[8]=a1+...+a8,7=111，tree[7]=a7,6=110,tree[6]=a5+a6, 可知，tree数组的赋值个数由下表决定。它由多少个数值相加取决于下标的二进制末尾有几个0，有k个0，就有2^k个值相加。8末尾有三个0，就有2^3个值相加。那我们如何找到有几个0呢？实际上，我们可以转化为找到下标的最后一个1所在位置。这里有一个神奇的操作lowbit（x）=x&(-x),就能实现。

其原理是利用负数的补码表示，负数的补码是原码取反加一。例如x=6=00000110，-x=11111010，lowbit（x）=2

那我们如何求和呢？

sum[4]=tree[4]

sum[7]=tree[7]+tree[6]+tree[4]

sum[9]=tree[9]

根据图表我们很容易得到上述关系，但是如果不画图呢？可以观察到：如7

7=111

6=110

4=100

可以联系上文可知，从7开始，先加上tree[7],然后7-lowbit（7）=6，加上tree[6],接着6-lowbit（6）=4，加上tree[4],最后4-lowbit（4）=0,结束。

int sum(int x){
    int s=0;
    while(x>0){
        s+=tree[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return s;
}

tree数组的更新

更改ak，和它相关的tree[]都会改变。例如改变a3，那么tree[3]、、tree[4]、tree[8]等都会改变。同样这个计算也利用了lowbit（x）。

首先改变tree[3],然后3+lowbit（3）=4，更改tree[4],4+lowbit( 4 )=8,更改tree[8],知道最后的tree[n]。

void add(int x,int d){
    while(x<=n){
        tree[x]+=d;
        x+=lowbit(x);
    }
}

例题：poj2182

题意：n头牛，身高为1-n，告诉你从第二只牛开始，告诉你前面有prei只牛比它矮，要你输出这个序列牛的身高。

分析：从最后一只牛开始，prei+1就是他的身高，每确定一只，就减去1，往前推。

#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e5;
int tree[N],pre[N],ans[N];
int n;
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
void add(int x,int d){
    while(x<=n){
        tree[x]+=d;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int sum(int x){
    int s=0;
    while(x>0){
        s+=tree[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return s;
}
int findpos(int x){
    int l=1,r=n;
    while(l<r){
        int mid=(l+r)/2;
        if(sum(mid)<x)
            l=mid+1;
        else
            r=mid;

    }
}
int main(){
    cin>>n;
    pre[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        scanf("%d",&pre[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        tree[i]=lowbit(i);
    for(int i=n;i>=1;i--){
        int x=findpos(pre[i]+1);
        //cout<<x<<endl;
        add(x,-1);
        ans[i]=x;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d\n",ans[i]);
}