矩阵链乘法
1. 问题
所谓矩阵链乘法是指当一些矩阵相乘时，如何加括号来改变乘法顺序从而来降低乘法次数。例如有三个矩阵连乘：A1*A2*A3，其维数分别为：10*100，100*5，5*50.如果按照（（A1*A2）*A3）来计算的话，求（A1*A2）要10*100*5=5000次乘法，再乘以A3需要10*5*50=2500次乘法，因此总共需要7500次乘法。如果按照（A1*（A2*A3））来计算的话，求（A2*A3）要100*5*50=25000次乘法，再乘以A1需要10*100*50=50000次乘法，因此总共需要75000次乘法。可见，按不同的顺序计算，代价相差很大。
2. 解析
给定n个矩阵构成的一个链（A1*A2*A3……*An），其中i=1,2,……n,矩阵Ai的维数为p(i-1)*p(i),对于乘积A1*A2*A3……*An以一种最小化标量乘法次数的方式进行加括号。
解决这个问题，我们可以用穷举法，但是n很大时，这不是个好方法，其时间复杂度为指数形式。拿上面的例子来说，加括号后把矩阵链分成了两部分，计算代价为两者代价的和。因此假设这种方法的代价最少，则两个部分的代价也是最小的，如果不是最小的，那么这种方法就不是最优的，因此矩阵链乘法具有最优子结构。因此我们可以利用子问题的最优解来构造原问题的一个最优解。所以，可以把问题分割为两个子问题（A1*A2*A3……*Ak和A(k+1)*A(k+2)*A(k+3)……*An）,需找子问题的最优解，然后合并这些问题的最优解。
3. 设计
4. 分析
5. 源码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define INTMAX 214748364
using namespace std;
const int MAX = 100;
const int M = 6;
//递归
int RecurMatrixChain(int P[], int i, int j) {
int m[MAX][MAX], s[MAX][MAX];
if (i == j) {
m[i][j] = 0;
s[i][j] = i;
return m[i][j];
}
m[i][j] = INTMAX;
s[i][j] = i;
for (int k = i; k <= j - 1; k++) {
int q = RecurMatrixChain(P, i, k) + RecurMatrixChain(P, k + 1, j) + P[i - 1] * P[k] * P[j];
if (q < m[i][j]) {
m[i][j] = q;
s[i][j] = k;
}
}
return m[i][j];
}
//迭代
void MatrixChain(int* p, int Length, int m[][M], int s[][M])
{
int q, n = Length - 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0;
for (int l = 2; l <= n; l++)
{
for (int i = 1; i <= n - l + 1; i++)
{
int j = i + l - 1;
m[i][j] = INTMAX;
for (int k = i; k <= j - 1; k++)
{
q = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
if (q < m[i][j])
{
m[i][j] = q;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
}
void print(int s[][M], int i, int j)
{
if (i == j) cout << "A" << i;
else
{
cout << "(";
print(s, i, s[i][j]);
print(s, s[i][j] + 1, j);
cout << ")";
}
}
int main()
{
int p[M] = { 5,1,4,6,3,2 };
int m[M][M], s[M][M];
MatrixChain(p, M, m, s);
cout << "当n=5时最优解为: \n" << m[1][5];
cout << "\n括号化方案为：\n";
print(s, 1, 5);
return 0;
}
