【算法随笔】大数乘法
大数乘法
假设 x 和 y是拥有n位数的大数，那么x*y的时间复杂度是多少？
algorithm 1
最朴素的想法，是使用小学课本中教授的乘法竖式的算法。即，x的每一位都需要与y的每一位进行相乘运算，并将结果按位相加。这个时候，算法的复杂度为$O(n^2)$。对算法复杂度有所了解的同学都知道，平方级的复杂度的算法大多都是存在优化空间的。那么如何对 algorithm 1进行优化呢？
algorithm2
我们是否可以采用分而治之的思想，将x和y分成高n/2位与低n/2位，进行操作？然后递归的进行这个过程呢？基于这种想法，我们的表达式可以记为:
$$
x * y = x_hy_h * 10^n + (x_hy_l+x_ly_h)*10^{n/2} + x_ly_l
$$
如果我们记xy的复杂度为T(n)，那么显然四个子部分的复杂度为4T(n/2)，而乘以$10^n$ 与$10^{n/2}$这一步骤的复杂度为n的线性复杂度，可以记为cn，因此有如下表达式:
$$\begin{cases}
T(n) ≤ 4T(n/2) + cn \quad\quad\quad,n > 1\ ||
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad1\quad\quad\quad,n=1
\end{cases}
$$
根据主定理结论，T(n) 的复杂度为O($n^2$)。这似乎与暴力的竖式算法木有区别呀！并且这只是实际上的理论复杂度，考虑递归操作往往需要栈来实现，出栈入栈还会带来额外的开销。
algorithm3
有没有更好的方法呢？当然是有的！如果我们把$x_hy_h$ 记为A，$x_ly_l$记为B，$(x_h+x_l)(y_h+y_l)$记作D，那么原来的表达式可以写为：
$$
x * y = A * 10^n + (D-A-B)*10^{n/2} + B
$$
这样一来我们的递归就简化为三路递归，迭代式也变为：
$$\begin{cases}
T(n) ≤ 3T(n/2) + cn \quad\quad\quad,n > 1\ ||
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad1\quad\quad\quad,n=1
\end{cases}
$$
根据主定理，此时的复杂度为O($n^{log_23}$)
tips1： 这个算法就是大名鼎鼎的Karatsuba algorithm
tips2: python的大数乘法中也分段的引入了该算法，当n小于等于70时，使用我们熟悉的竖式算法，否则使用Karatsuba algorithm
