星星之火

[Atcoder Grand 006 C] Rabbit Exercise 解题报告 (期望)

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/AT2164 https://agc006.contest.atcoder.jp/tasks/agc006_c

题目

中文描述:

𝑁只兔子排成了一行, 第𝑖只兔子的初始位置为𝑥𝑖.

兔子要进行锻炼, 每一轮包含𝑀次跳跃, 第𝑖次是兔子 𝑎𝑖(2≤𝑎𝑖≤𝑁−1)进行跳跃, 它会等概率的选择第𝑎𝑖−1 或第𝑎𝑖+1只兔子 (假设为𝑥), 然后跳到当前位置关于𝑥的 对称点上.

这𝑀次跳跃重复进行了𝐾轮, 求最终每只兔子坐标的期望.

解题方法:

第𝑖只兔子跳过第𝑗只兔子之后坐标变为2∗𝑥𝑗−𝑥𝑖, 是线性的.

所以设𝑥𝑖为第𝑖只兔子位置的期望, 这个式子也成立.

进行完一次跳跃后,𝑥𝑖变成了1/2$(2x_{i-1} - x_{i-1})$ + 1/2(2$x_{i+1}$ − $x_i$) = $x_{i-1} + x_{i+1}$ - $x_i$

设s𝑖=𝑥𝑖+1−𝑥𝑖, 那么进行一次跳跃相当于交换s𝑖和 s𝑖-1.

𝑥𝑖−1 xi 𝑥𝑖+1 -> 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖−1+xi+1-xi xi+1

s数组: xi-xi-1 xi+1-xi-> xi+1-xi xi-xi-1

我们先手动做一轮,得到交换后对应的位置。考虑dfs一遍找到形成的交换环,对每只兔子在它的环上走k步,最后再把差分的值加上就好.

代码如下:

复制代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=1e5+15;
ll n,m,k,cnt;
ll vis[maxn],s[maxn],x[maxn],num[maxn],be[maxn],p[maxn],a[maxn];
vector <ll> q[maxn];
void dfs(ll x,ll dep)//找环 
{
    num[x]=dep;vis[x]=1;be[x]=cnt;
    q[cnt].push_back(x);
    if (!vis[p[x]]) dfs(p[x],dep+1);
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",x+i);
    for (int i=1;i<n;i++) s[i]=x[i+1]-x[i];//差分序列 
    scanf("%lld%lld",&m,&k);
    for (int i=1;i<n;i++) p[i]=i;
    for (int i=1;i<=m;i++) {scanf("%lld",a+i);swap(p[a[i]],p[a[i]-1]);}//一次置换的结果,记录下一次置换兔子到哪了 
    for (int i=1;i<n;i++) if (!vis[i]) {dfs(i,0);++cnt;}
    ll now=x[1];
    printf("%lld\n",now);
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        now+=s[q[be[i]][(num[i]+k)%q[be[i]].size()]];
        printf("%lld\n",now);
    }
    return 0;
}
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