Luogu P4552 [Poetize6] IncDec Sequence 更好的题解

原题链接

第一步对于学过差分的人应该不难想
定义差分数组 $diss.t.dis[i]=a[i]-a[i-1]$
那么不难发现问题一只要让 $dis[2]...dis[n]$中全部为 $0$ 即可
区间$[l,r]$加一操作在差分数组中意味着$dis[l]=dis[l]+1,dis[r+1]=dis[r+1]-1$
即在差分数组中每次选取$(x,y),dis[x]=dis[x]+1,dis[y]=dis[y]-1$
注意这里$x,y$可以选取$1...n+1$
减一同理
最后要使$dis[2]...dis[n]$全为0,首先在$dis[2]...dis[n]$选取一个正数和一个负数是他们配对加一或减一,直到最后只剩下一个数,不难发现这个数就是$dis[2]...dis[n]$中正数的和$su{m}^{+}$和负数的和的绝对值$|su{m}^{-}|$的差,让他与dis[1]或dis[n+1]配对即可

最后整理可得:$min(su{m}^{+},su{m}^{-})+|su{m}^{+}-|su{m}^{-}||$,即$max(su{m}^{+},|su{m}^{-}|)$就是第一小问答案

对于第二小问,不难注意答案序列的不同只和在第一小问中最后剩下的那个数$k=su{m}^{+}-|su{m}^{-}|+1$有关
我们这里不妨设$k>0$,那么它可以和1或n+1配对,这里两个操作就代表了原数组$a[1,k-1]$全部加一和原数组$a[k,n]$全部减一,也就产生了两种不同的序列
那么这两种操作进行的次数的和必然是$k$,那么就产生了k+1中不同的选法(第一个操作进行$0...k$次)
对于$k<0$的情况可以同样地进行讨论
那么第二问答案就是$k+1=|su{m}^{+}-|su{m}^{-}||+1$

//c++AC代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,a[(int)1e5+5],dis[(int)1e5+5];
long long sum_z,sum_f,rest;

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1;i <= n;++i)
	{
		scanf("%d",a+i);
	}
	for(int i = 1;i <= n;++i)
	{
		dis[i]=a[i]-a[i-1];
	}
	for(int i = 2;i <= n;++i)
	{
		if(dis[i] > 0)
			sum_z+=dis[i];
		else 
			sum_f+=dis[i];
	}
	rest=sum_z+sum_f;
	printf("%lld\n",max(sum_z,std::abs(sum_f)));
	printf("%lld",(long long)std::abs(sum_z-std::abs(sum_f))+1);
	return 0;
}