迷宫城堡 HDU - 1269
为了训练小希的方向感，Gardon建立了一座大城堡，里面有N个房间(N<=10000)和M条通道(M<=100000)，每个通道都是单向的，就是说若称某通道连通了A房间和B房间，只说明可以通过这个通道由A房间到达B房间，但并不说明通过它可以由B房间到达A房间。Gardon需要请你写个程序确认一下是否任意两个房间都是相互连通的，即：对于任意的i和j，至少存在一条路径可以从房间i到房间j，也存在一条路径可以从房间j到房间i。
Input输入包含多组数据，输入的第一行有两个数：N和M，接下来的M行每行有两个数a和b，表示了一条通道可以从A房间来到B房间。文件最后以两个0结束。
Output对于输入的每组数据，如果任意两个房间都是相互连接的，输出"Yes"，否则输出"No"。
Sample Input
3 3 1 2 2 3 3 1 3 3 1 2 2 3 3 2 0 0
Sample Output
Yes No
有向图n个点，m条边，判断图是否强连通
基本知识：强连通图（Strongly Connected Graph）是指在有向图G中，如果对于每一对vi、vj，vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。
有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。
有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)（SCC）。
求SCC有三种高效算法：Kosaraju，Tarjan，Garbow，复杂度为0(V+E),Kosaraju相对差一点;
Kosaraju算法：
利用“反图”的思想：
1）有向图G所有边反向得到rG，不会改变SCC数量；
2）对G和rG各做一次dfs可得SCC数量.
#include <cstdio> #include <iostream> #include <cmath> #include <string.h> #include <algorithm> #include <vector> #include <queue> #define clr(a) memset(a, 0, sizeof(a)) #define re(i,a,b) for(int i=(a),_=(b);i<_;i++) using namespace std; const int mx = 10005; int n, m, i, j, k,t; int a[mx], b[mx]; vector<int>G[mx],rG[mx]; vector<int>S;//存第一次dfs1()的结果：标记点的先后顺序 int vis[mx], scc[mx], cnt;//cnt:强连通分量的个数 void dfs1(int u) { if (vis[u])return; vis[u] = 1; re(i, 0, G[u].size())dfs1(G[u][i]); S.push_back(u);//记录点的先后顺序，标记大的放在S后面 } void dfs2(int u) { if (scc[u])return; scc[u] = cnt; re(i, 0, rG[u].size())dfs2(rG[u][i]); } void Kosaraju(int n) { cnt = 0; S.clear(); clr(scc); clr(vis); re(i, 1, n + 1)dfs1(i);//点的编号1~n.递归所有点 for (int i=n-1;i>=0;i--) { if (!scc[S[i]]) { cnt++; dfs2(S[i]); } } } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); int u, v; while (scanf("%d%d",&n,&m),n!=0||m!=0) { re(i, 0, n) { G[i].clear(); rG[i].clear(); } re(i, 0, m) { scanf("%d%d", &u, &v); G[u].push_back(v);//原图 rG[v].push_back(u);//反图 } Kosaraju(n); printf("%s\n", cnt == 1 ? "Yes" : "No"); } return 0; }
Tarjan算法：
下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
Tarjan算法是用来求有向图的强连通分量的。求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法。
当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
接下来是对算法流程的演示。
返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; using ll = long long; const ll inf = 4e18+10; const int mod = 1000000007; const int mx = 10005; //check the limits, dummy typedef pair<int, int> pa; const double PI = acos(-1); ll gcd(ll a, ll b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } #define swa(a,b) a^=b^=a^=b #define re(i,a,b) for(int i=(a),_=(b);i<_;i++) #define rb(i,a,b) for(int i=(b),_=(a);i>=_;i--) #define clr(a) memset(a, 0, sizeof(a)) #define lowbit(x) ((x)&(x-1)) #define mkp make_pair void sc(int& x) { scanf("%d", &x); }void sc(int64_t& x) { scanf("%lld", &x); }void sc(double& x) { scanf("%lf", &x); }void sc(char& x) { scanf(" %c", &x); }void sc(char* x) { scanf("%s", x); } int m, n,k,sum=0,ans=0,t; int cnt;//SCC 的个数 int low[mx], num[mx], dfn; int sccno[mx], stack1[mx], top;//用stack处理栈，top栈顶 vector<int>G[mx]; void dfs(int u) { stack1[top++] = u;//u进栈 low[u] = num[u] = ++dfn; re(i, 0, G[u].size()) { int v = G[u][i]; if (!num[v]) { dfs(v);//dfs的最底层是最后一个SCC low[u] = min(low[u], low[v]); } else if (!sccno[v])//处理同退边 low[u] = min(low[u], num[v]); } if (low[u] == num[u]) {//栈底的点是SCC的祖先，它的low=num cnt++; while (1){ int v = stack1[--top];//v弹出栈 sccno[v] = cnt; if (u == v)break;//栈底的点是SCC的祖先 } } } void Tarjan(int n) { cnt = top = dfn = 0; clr(sccno); clr(num); clr(low); re(i, 1, n + 1) { if (!num[i]) dfs(i); } } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); int u, v; while (cin>>n>>m,n!=0||m!=0) { re(i, 1, n + 1)G[i].clear(); re(i, 0, m) { cin >> u >> v; G[u].push_back(v); } Tarjan(n); printf("%s\n", cnt == 1 ? "Yes" : "No"); } return 0; }
