CF222E题解

这道题显然是一道 dp。转移方程式也很好推，我们记 $f_{i,j}$ 为前 $i$ 位且第 $i$ 位为 $j$ 的 DNA 序列数量。而对于输入的字符串，我们用 $vi{s}_{i,j}=0$ 表示第 $i$ 个字母后面不能放第 $j$ 个字母。那么转移方程式即为：

$$f_{i,j}=\sum _{k=1}^m{f}_{i-1,k}\times vi{s}_{k,j}$$

但是一看 $n$ 的范围 ${10}^{15}$，那这样的话我们就要考虑用矩阵加速来优化转移。把上面提到的 $vis$ 写成一个矩阵，而对于 $f$ 我们将 $f_{1,i}$ 初始化好再进行矩阵快速幂转移，这样转移次数是 $n-1$ 次。即：

$$ans=f\times vi{s}^{n-1}$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define N 55
const int mod=1e9+7;
inline int read(){
    int f=1,w=0;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-')  f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        w=(w<<1)+(w<<3)+(c^48);
        c=getchar();
    }
    return f*w;
}
int n,m,k;
bool vis[65][65];
struct matrix{
    int a[65][65];
    matrix operator *(const matrix &x)const{
        matrix ans;
        for(int i=1;i<=N;i++){
            for(int j=1;j<=N;j++){
                ans.a[i][j]=0;
                for(int k=1;k<=N;k++){
                    ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*x.a[k][j]%mod)%mod;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}base;
int trans(char c){
    if(c>='a'&&c<='z'){
        return c-'a'+1;
    }else{
        return c-'A'+27;
    }
}
matrix f;
void quickpow(matrix base,int p,matrix &res){
    while(p){
        if(p&1) res=res*base;
        p>>=1;
        base=base*base;
    }
}
matrix ans;
void init(){
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            base.a[i][j]=1;
        }
    }  
    for(int i=1;i<=N;i++){
        ans.a[i][i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        f.a[1][i]=1;
    }
}
signed main(){
    n=read();
    m=read();
    k=read(); 
    init();   
    for(int i=1;i<=k;i++){
        string s;
        cin>>s;
        int x,y;
        x=trans(s[0]),y=trans(s[1]);
//        vis[x][y]=1;
        base.a[x][y]=0;
    }   
    quickpow(base,n-1,ans);
    f=f*ans;
    int res=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        (res+=f.a[1][i])%=mod;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}