[翻译转载]离散数学教程--命题逻辑,谓词逻辑和推理规则

Discrete Mathematics

命题逻辑

数理逻辑的规则指定了如何判断一个数学语句的正确性. 古希腊哲学家,亚里士多德是数理逻辑的先驱. 数理逻辑为数学和计算机科学的许多领域提供了理论的基础. 它在计算机科学领域中也有着许多实际的应用,如计算器,人工智能,编程语言中数据结构的定义等等.

命题逻辑关注与陈述中的真值,"true"和"false"(下文作真,假). 它的目的是分析这些独立的陈述或复合的语句.

定理

命题逻辑是一系列陈述语句,取值只能为真/假,叫做命题的真值. 它包含了命题变量和逻辑连词. 我们将命题变量记做大写字母(A,B, 等.), 连结词连接这些命题变量

下面是一些命题的例子:

• "男人是人", 真值为真
• "12+9 = 3-2", 真值为假

下面的例子不是一个命题:

• "A 小于 2", 除非我们给出A的特定值,否则无法确定语句的真值

逻辑连词

命题逻辑中通常有5种连词

• OR($\lor$) 或
• AND($\land$) 与
• NOT($\lnot$) 否
• if-then($\rightarrow$) 蕴含/如果那么
• if and only if($\Leftrightarrow$) 等价/当且仅当

$或(\lor)$ - 或运算作用在两个命题A,B上(写作 $A\lor B$) 当A,B中的至少一个为真时为真.

真值表如下-

A	B	$A\lor B$
真	真	真
假	真	真
真	假	真
假	假	假

$与(\land)$ - 与运算作用在两个命题A,B上(写作 $A\land B$) 当A,B同为真时为真.

真值表如下-

A	B	$A\land B$
真	真	真
假	真	假
真	假	假
假	假	假

$否(\lnot)$ - 否运算作用在命题A上(写作 $\lnot A$) 当A为真时为假,当A为假时为真.

真值表如下-

A	$\lnot A$
真	假
假	真

$蕴含(\rightarrow)$ - 命题"如果A, 那么B" 表示为蕴含式 $A \rightarrow B$, 当A为真B为假时为假,其他情况都为真.

A	B	$A\rightarrow B$
真	真	真
真	假	假
假	真	真
假	假	真

$等价(\Leftrightarrow)$ - $A \Leftrightarrow B$, 是一个双向的逻辑连词, 当A,B取值相同时为真, 如A,B同时位假时为真

A	B	$A\Leftrightarrow B$
真	真	真
真	假	假
假	真	假
假	假	真

重言式/永真式

重言式是一种无论命题变量取值如何真值都为真的公式.

例: 证明 $[(A\leftarrow B)\land A] \leftarrow B$ 是重言式

真值表如下

A	B	$A\leftarrow B$	$(A\leftarrow B)\land A$	$[(A\leftarrow B)\land A] \leftarrow B$
真	真	真	真	真
真	假	假	假	真
假	真	真	假	真
假	假	真	假	真

因为$[(A\leftarrow B)\land A] \leftarrow B$ 的所有取值都为真,所以为重言式

矛盾式/永假式

矛盾式是一种无论命题变量取值如何真值都为假的公式.

例: 证明 $(A \lor B) \land [(\lnot A) \land (\lnot B)]$ 是矛盾式

真值表如下

A	B	$A\lor B$	$\lnot A$	$\lnot B$	$(\lnot A) \land (\lnot B)$	$(A \lor B) \land [(\lnot A) \land (\lnot B)]$
真	真	真	假	假	假	假
真	假	真	假	真	假	假
假	真	真	真	假	假	假
假	假	假	真	真	真	假

因为$(A \lor B) \land [(\lnot A) \land (\lnot B)]$ 的所有取值都为假,所以为矛盾式

偶然式(Contingency)

偶然式是一种在逻辑变量的所有取值中,一些真值为真一些真值为假的公式.

例: 证明 $(A \lor B) \land (\lnot A)$ 是矛盾式

真值表如下

A	B	$A\lor B$	$\lnot A$	$(A \lor B) \land (\lnot A)$
真	真	真	假	假
真	假	真	假	假
假	真	真	真	真
假	假	假	真	假

因为$(A \lor B) \land (\lnot A)$ 的取值既包含真也包含假,所以为偶然式

逻辑等价

当下面两种情况成立时, 陈述X和Y被认为是等价的

• 两个陈述的真值表有相同的真值
• 双条件陈述 $X \Leftrightarrow Y$ 是永真式

例: 证 $\lnot(A \lor B) and [(\lnot A) \land (\lnot B)]$ 是等价的

用第一种方法测试(比较真值表)

A	B	$A\lor B$	$\lnot(A \lor B)$	$\lnot A$	$\lnot B$	$[(\lnot A) \land (\lnot B)]$
真	真	真	假	假	假	假
真	假	真	假	假	真	假
假	真	真	假	真	假	假
假	假	假	真	假	假	真

$\lnot(A \lor B) and [(\lnot A) \land (\lnot B)]$的真值表相同,因此陈述是等价的

用第二种方法测试(双向条件)

A	B	$\lnot (A \lor B)$	$[(\lnot A) \land (\lnot B)]$	$\lnot(A \lor B) \Leftrightarrow [(\lnot A) \land (\lnot B)]$
真	真	假	假	真
真	假	假	假	真
假	真	假	假	真
假	假	真	真	真

$\lnot(A \lor B) \Leftrightarrow [(\lnot A) \land (\lnot B)]$是永真式,因此陈述是等价的

否命题,逆命题和逆否命题

蕴含$\rightarrow$ 也被叫做条件陈述, 它包含两个部分

• 假设,p
• 结论,q

就像之前说过的, 它被记做$p \rightarrow q$

条件陈述的例子 - "如果你做了作业,你就不会被惩罚",中"你做作业"是假设p,"你不会被惩罚"是结论q

否命题 - 条件陈述的否命题是将假设和结论中的陈述同时取反, 如果陈述是$如果p, 那么q$, 否命题就是 "如果非p,那么非q". 因此$p \rightarrow q$ 的否命题是 $\lnot p \rightarrow \lnot q$

例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的否命题是"如果你不做作业,你就会被惩罚"

逆命题 - 条件陈述的逆命题是将原陈述的假设和结论交换, 如果陈述是$如果p, 那么q$, 逆命题就是 "如果q,那么p". 因此$p \rightarrow q$ 的逆命题是 $q \rightarrow p$

例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的逆命题是"如果你没有被惩罚,你做了你的作业"

逆否命题 - 条件陈述的逆否命题是将原陈述的假设和结论取非后交换, 如果陈述是$如果p, 那么q$, 逆命题就是 "如果非q,那么非p". 因此$p \rightarrow q$ 的逆命题是 $\lnot q \rightarrow \lnot p$

例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的逆否命题是"如果你被惩罚了,那么你没有做你的作业"

对偶原则

对偶原则是当陈述为真时,将其中的交集换成补集,补集换成交集,全集换成空集,空集换成全集,得到它的对偶陈述, 那么它的对偶陈述也为真. 如果一个陈述的对偶陈述为本身,那么他就是对称陈述.

例: $(A \cap B) \cup C$ 的对偶是 $(A \cup B) \cap C$

逻辑范式

我们可将所有命题转换为两种标准形式

• 合取范式
• 析取范式

合取范式

如果复合陈述中所有的或操作(包括非运算)都由与来连接,则被称为合取范式. 在集合中,复合陈述中的并集要通过交集来连接.

例:

• $(A \lor B) \land (A \lor C) \land (B \lor C \lor D)$
• $(P \cup Q) \cap (Q \cup R)$

析取范式

如果复合陈述中所有的与操作(包括非运算)都由或来连接,则被称为析取范式. 在集合中,复合陈述中的交集要通过并集来连接.

例:

• $(A \land B) \lor (A \land C) \lor (B \land C \land D)$
• $(P \cap Q) \cup (Q \cap R)$

谓词逻辑

谓词逻辑处理谓词, 谓词是包含变量的命题.

定义

谓词是一个或多个定义在特定域中的变量表达式. 一个带有变量的命题可以通过为变量赋值或量化变量来变成命题.

下面是一些谓词的例子

• 设E(x,y), 表示"x=y"
• 设X(a,b,c), 表示"a+b+c=0"
• 设M(x,y), 表示"x嫁给了y"

合式公式

命题下面的条件就被叫做合式公式(wwf)

• 所有的命题变量和命题常量都是合式公式
• 如果x是一个变量Y是一个合式公式, $\forall x Y$ 和 $\exists x Y$ 也是合式公式
• 真和假是合式公式
• 所有原子公式是合式公式
• 由连接词连接的合式公式也是合式公式

量词

谓词中的变量由量词来量化, 谓词逻辑中的量词有两种-全称量词和存在量词

全称量词

全称量词描述了在特定域中不论特定变量取何值陈述都为真, 符号表示为$\forall$

$\forall x P(x)$ 读作对于x的任意取值,P(x)都为真

例: "男人是人"可以被写成谓词形式 $\forall x P(x)$, 其中P(x)是谓词表示x是人, 并且论述的全集是男人集合.

存在量词

存在量词描述了在特定域中特定变量有取值使得陈述都真, 符号表示为$\exists$

$\exists x P(x)$ 读作对于x的某些取值,P(x)都为真

例: "有些人不诚实" 可以被写成谓词形式 $\exists x P(x)$, 其中P(x)是谓词表示x不诚实, 并且论述的全集是某些人的集合.

嵌套量词

如果在一个量词的域内使用了另一个量词, 则叫做嵌套量词

例:

• $\forall a \exists b P(x,y) \quad 其中 P(a,b) 表示 \quad a+b=0$
• $\forall a \forall b \forall c P(a,b,c) \quad 其中 P(a,b,c) 表示 \quad a+(b+c)=(a+b)+c$

注意: $\forall a \exists b P(x,y) \ne \exists a \forall b P(x,y)$

推理规则

为了从已知真值的陈述推论出新的陈述的真值需要使用推理规则

推理逻辑做什么?

数理逻辑通常用来做逻辑证明, 证明是决定数学陈述的真值的有效推论

推论是一系列的陈述, 最后一个陈述是前面所有陈述语句的结论,前面的陈述叫做前提或假设. 将符号$\therefore$(因此)放在结论前. 一个有效的推论是从前面所有前提的真值中正确推理出的. 推理规则提供了从已知陈述构建出有效推论的模板和大纲

推理规则表

推理规则	名字	推理规则	名字
$\begin{matrix} P \\ \hline \therefore P \lor Q \end{matrix}$	析取引入	$\begin{matrix} P \lor Q \\ \lnot P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}$	析取消去/析取三段论
$\begin{matrix} P \\ Q \\ \hline \therefore P \land Q\end{matrix}$	合取引入	$\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ Q\rightarrow R \\ \hline \therefore P \rightarrow R\end{matrix}$	假言三段论
$\begin{matrix} P \land Q \\ \hline \therefore P \end{matrix}$	合取简化	$\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ P \lor R \\ \hline \therefore Q \lor S \end{matrix}$	二难论证复杂构成式/构造性二难
$\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}$	分离论证	$\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ \lnot Q \lor \lnot S \\ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{matrix}$	二难论证复杂破坏式/破坏性二难
$\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ \lnot Q \\ \hline \therefore \lnot P \end{matrix}$	逆分离论证

析取引入

将P作为前提,我们可以析取引入$P \lor Q$

$$\begin{matrix} P \\ \hline \therefore P \lor Q \end{matrix}$$

例: 设命题P"他学习很努力"为真.
因此 - "要么他学习很努力要么他是一个坏学生". 其中Q是命题"他是一个坏学生"

合取引入

如果P和Q作为前提, 我们可以合取引入 $P \land Q$

$$\begin{matrix} P \\ Q \\ \hline \therefore P \land Q\end{matrix}$$

例: 设P-"他学习很努力", Q-"他是班级里最好的人"
因此 - "他学习很努力,也是班级中最好的人"

合取简化

让$P \land Q 作为前提$, 可以合取简化出P

$$\begin{matrix} P \land Q \\ \hline \therefore P \end{matrix}$$

例: "他学习很努力,也是班级中最好的人", $P \land Q$
因此 - "他学习很努力"

分离论证

如有P和$P \rightarrow Q$ 两个前提, 我们可以分离论证出Q

$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}$$

例: "如果你有密码,你就可以登录qq", $P\rightarrow Q$
"你有密码", P
因此 - "你可以登录qq"

逆分离论证

如有$P\rightarrow Q 和 \lnot Q$ 两个前提, 我们可以逆分离论证出 $\lnot P$

$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ \lnot Q \\ \hline \therefore \lnot P \end{matrix}$$

例: "如果你有密码,你就可以登录qq",$P \rightarrow Q$
"你没法登录进QQ", $\lnot Q$
因此 - "你没有密码"

析取消去/析取三段论

如有$\lnot P 和 P \lor Q$ 两个前提, 我们可以析取消去出 $Q$

$$\begin{matrix} P \lor Q \\ \lnot P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}$$

例: "冰淇淋不是草莓味的", $\lnot P$
"冰淇淋要么是草莓味要么是巧克力味" $P \lor Q$
因此 - "冰淇淋是巧克力味的"

假言三段论

如有$P \rightarrow Q 和 Q \rightarrow R$ 两个前提, 根据假言三段论可得 $P \rightarrow R$

$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ Q\rightarrow R \\ \hline \therefore P \rightarrow R\end{matrix}$$

例: "如果下雨我就不去学校了", $P \rightarrow Q$
"如果我不去学校我就不用做作业" $Q \rightarrow R$
因此 - "如果下雨我就不用做作业了"

构造性二难

如有$(P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) 和 P \lor R$ 两个前提, 根据构造性二难可得 $Q \lor S$

$$\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ P \lor R \\ \hline \therefore Q \lor S \end{matrix}$$

例: "如果下雨我就休息一下", $P \rightarrow Q$
"如果外面很热我就洗个澡" $R \rightarrow S$
"外面要么下雨要么很热" $P \lor R$
因此 - "我要么休息一下要么洗个澡"

破坏性二难

如有$(P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) 和 \lnot Q \lor \lnot S$ 两个前提, 根据构造性二难可得 $\lnot P \lor \lnot R$

$$\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ \lnot Q \lor \lnot S \\ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{matrix}$$

例: "如果下雨我就休息一下", $P \rightarrow Q$
"如果外面很热我就洗个澡" $R \rightarrow S$
"要么我不会休息,要么我不去洗澡" $\lnot Q \lor \lnot S$
因此 - "外面要么没有下雨,要么不是很热"

原博文地址
https://www.tutorialspoint.com/discrete_mathematics/index.htm