十八、最小生成树（克鲁斯卡尔算法）
最小生成树
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。 
例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
克鲁斯卡尔算法介绍
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。
克鲁斯卡尔算法图解
以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。
邻接矩阵：
import java.util.ArrayList;
class Vertex
{
public char label;
public int index;//在顶点数组中的下标索引
public Vertex(char label,int index)
{
this.label = label;
this.index = index;
}
}
class Edge
{
public Vertex start;
public Vertex end;
public int weight;
public Edge(Vertex start, Vertex end, int weight)
{
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
}
class UDGraph
{
private final int MAX_VERTS = 20;
private Vertex vertexList[];
private int adjMat[][];
private int nVerts;
public UDGraph()
{
vertexList = new Vertex[MAX_VERTS];
adjMat = new int[MAX_VERTS][MAX_VERTS];
nVerts = 0;
for(int i=0;i<MAX_VERTS;i++)
for(int j=0;j<MAX_VERTS;j++)
adjMat[i][j] = 0;
}
public void addVertex(char lab)
{
vertexList[nVerts] = new Vertex(lab,nVerts);
nVerts++;
}
public void addEdge(int start,int end,int weight)
{
adjMat[start][end] = weight;
adjMat[end][start] = weight;
}
public void kruskal()
{
Edge[] edge = new Edge[MAX_VERTS*MAX_VERTS];
int nEdges=0;
// 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。
int[] end_point = new int[nVerts];
// 结果数组，保存kruskal最小生成树的边
ArrayList<Edge> resultList = new ArrayList<Edge>();
for(int row=0;row<nVerts;row++)//上三角
for(int col=row;col<nVerts;col++)
if(adjMat[row][col]>0)
{
edge[nEdges] = new Edge(vertexList[row],vertexList[col],adjMat[row][col]);
nEdges++;
}
//对边数组排序
for(int out=nEdges-1;out>0;out--)
for(int in=0;in<out;in++)
if(edge[in].weight>edge[in+1].weight)
{
Edge temp = edge[in];
edge[in] = edge[in+1];
edge[in+1] = temp;
}
for(int i=0;i<nEdges;i++)
{
int m = getEndPoint(end_point, edge[i].start.index);
int n = getEndPoint(end_point, edge[i].end.index);
System.out.println(" "+edge[i].start.label+edge[i].end.label+"m="+m+" n="+n);
//想象成两棵树的根不同，把一棵树的根连接到另一个树的根
if(m!=n)
{
end_point[m] = n;
resultList.add(edge[i]);
}
}
//打印显示
for(int i=0;i<resultList.size();i++)
System.out.println(resultList.get(i).start.label+"---"+resultList.get(i).weight+"---"+resultList.get(i).end.label);
}
//终点想象成树的根
public int getEndPoint(int[] end_point, int i)
{
while(end_point[i] != 0)
i = end_point[i];
return i;
}
}
public class MatrixUDG_Kruskal
{
public static void main(String[] args)
{
UDGraph theGraph = new UDGraph();
theGraph.addVertex('A'); // 0 (start for mst)
theGraph.addVertex('B'); // 1
theGraph.addVertex('C'); // 2
theGraph.addVertex('D'); // 3
theGraph.addVertex('E'); // 4
theGraph.addVertex('F'); // 5
theGraph.addEdge(0, 1,1); // AB
theGraph.addEdge(0, 2,4); // AC
theGraph.addEdge(0, 5, 6); // AF
theGraph.addEdge(1, 3,8); // BD
theGraph.addEdge(1, 4,3); // BE
theGraph.addEdge(2, 4,9); // CE
theGraph.addEdge(2, 5,5); // CF
theGraph.addEdge(3, 4,7); // DE
theGraph.addEdge(3, 5,10); // DF
theGraph.addEdge(4, 5,2); // EF
theGraph.kruskal();
}
}
邻接链表：
import java.util.ArrayList;
class Vertex
{
public char label;
public int index;//在顶点数组中的下标索引
public Edge firstEdge;
public Vertex(char label,int index)
{
this.label = label;
this.index = index;
firstEdge = null;
}
}
class Edge
{
public int sour;
public int dest;//边指向的顶点在数组列表中的位置
public Edge nextEdge;//指向的下一条边
public int weight;//权重
public Edge(int sour,int dest,int weight)
{
this.sour = sour;
this.dest= dest;
this.weight = weight;
nextEdge = null;
}
}
class UDGraph
{
private final int MAX_VERTS = 20;
private Vertex vertexList[];
private int nVerts;
public UDGraph()
{
vertexList = new Vertex[MAX_VERTS];
nVerts = 0;
}
public void addVertex(char lab)
{
vertexList[nVerts] = new Vertex(lab,nVerts);
nVerts++;
}
public void addEdge(int start,int end,int weight)
{
Edge s_T_eEdge = new Edge(start,end,weight);
Edge e_T_sEdge = new Edge(end,start,weight);
Edge edge2 = vertexList[start].firstEdge;
if(edge2==null)
{
vertexList[start].firstEdge = s_T_eEdge;
}else
{
while(edge2.nextEdge!=null)
edge2 = edge2.nextEdge;
edge2.nextEdge = s_T_eEdge;
}
Edge edge3 = vertexList[end].firstEdge;
if(edge3==null)
{
vertexList[end].firstEdge = e_T_sEdge;
}else
{
while(edge3.nextEdge!=null)
edge3 = edge3.nextEdge;
edge3.nextEdge = e_T_sEdge;
}
}
public void kruskal()
{
Edge[] edge = new Edge[MAX_VERTS*MAX_VERTS];
int nEdges=0;
// 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。
int[] end_point = new int[nVerts];
// 结果数组，保存kruskal最小生成树的边
ArrayList<Edge> resultList = new ArrayList<Edge>();
//把所有的边放入Edge[] edge中
for(int i=0;i<nVerts;i++){
Edge currentEdge = vertexList[i].firstEdge;
while(currentEdge!= null )
{
//vertexList[i].index<currentEdge.dest，使所有的边起点小于重点，
//保证放入的边不重复，如果没有设置，则放入两倍的边
if( vertexList[i].index<currentEdge.dest)
{
edge[nEdges++] = currentEdge;
}
currentEdge = currentEdge.nextEdge;
}
}
//对边数组排序
for(int out=nEdges-1;out>0;out--)
for(int in=0;in<out;in++)
if(edge[in].weight>edge[in+1].weight)
{
Edge temp = edge[in];
edge[in] = edge[in+1];
edge[in+1] = temp;
}
for(int i=0;i<nEdges;i++)
{
int m = getEndPoint(end_point, edge[i].sour);
int n = getEndPoint(end_point, edge[i].dest);
if(m!=n){
end_point[m] = n;
resultList.add(edge[i]);
}
}
//打印显示
for(int i=0;i<resultList.size();i++)
System.out.println(vertexList[resultList.get(i).sour].label+"-------"+resultList.get(i).weight+"-------"+vertexList[resultList.get(i).dest].label);
}
public int getEndPoint(int[] end_point, int i)
{
while(end_point[i] != 0)
i = end_point[i];
return i;
}
}
public class ListUDG_Kruskal
{
public static void main(String[] args)
{
UDGraph theGraph = new UDGraph();
theGraph.addVertex('A');// 0 (start for mst)
theGraph.addVertex('B');// 1
theGraph.addVertex('C');// 2
theGraph.addVertex('D');// 3
theGraph.addVertex('E');// 4
theGraph.addVertex('F');// 5
theGraph.addEdge(0, 1,1);//AB
theGraph.addEdge(0, 2,4);//AC
theGraph.addEdge(0, 5,6);//AF
theGraph.addEdge(1, 3,8);//BD
theGraph.addEdge(1, 4,3);//BE
theGraph.addEdge(2, 4,9);//CE
theGraph.addEdge(2, 5,5);//CF
theGraph.addEdge(3, 4,7);//DE
theGraph.addEdge(3, 5,10);//DF
theGraph.addEdge(4, 5,2);//EF
theGraph.kruskal();
}
}
