四川大学2013年数学分析考研试题

一、计算(每小题10分,共80分)

1.设$m$为正整数,求$\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{m} \sum\limits_{k=1}^{m}\sqrt[n]{k}\right)^{n} .$ 

2.求$\displaystyle \lim\limits_{x\to +\infty}\int_{x}^{x+1}\frac{\sin^{2}{t}}{t+\cos{t}}dt.$ 

3.设 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0 } \frac{ (2x-\sin{2x})\arcsin{x} }{ e^{ -\frac{x^{2}}{2} } -\cos{}x } . $ 

4.求$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{ 2\cos{x} }{\sin{x} + \cos{x} }dt.$ 

5.求球体$ \displaystyle x^{2} + y^{2} +z^{2} \le 1$被柱面$ \displaystyle x^{2}+y^{2} =x$所截出部分的体积.

6.设流速为$\displaystyle \overrightarrow{v}=(x,y,z) $的不可压缩流体单位时间内穿过圆锥体$x^{2}+y^{2}\le z^{2}(0\le z\le h)$表面的流量,表面法向量朝外. 

7.求积分$\displaystyle \int_{L} \frac{ xdy-ydx }{x^{2} +2y^{2}},$其中$L$为不过原点的简单闭曲线,$L$取顺时针方向.

8.求幂级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n+1)(x+1)^{n}$的收敛域与和函数.

二、(20分,每小题5分)判断下列命题是否正确.若正确,给出证明;若不正确,举例说明.

 

1.对任意$\varepsilon>0,f$在$ [a+\varepsilon,b-\varepsilon] $上连续,则$f$在$(a,b)$上连续.

2.函数$\displaystyle f(x)$在$\mathbb{R}$上可导,则$f'(x)$在$\mathbb{R}$上连续.

3.$f,g$为$\mathbb{R}$上的连续函数,则$f\left( \min\{ g(x) ,1 \} \right)$关于$x$在$\mathbb{R}$上一致连续.

4.$ f: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$可微,$x,y \in \mathbb{R}^{2}$,则存在$\theta \in (0,1)$使得$$ f(y)-f(x)=f'(x+\theta (y-x))(y-x)$$.

 

三、(10分) 若正项级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$收敛,且数列$\displaystyle \{ a_{n} \}$单调,证明:$\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}na_{n}=0.$

 

四、(15分) 讨论积分$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{ x^{p} |\ln{x} | ^{q} }dx$的敛散性,其中$\displaystyle p.q \in (0,+\infty).$

五、(10分) $\displaystyle f_{x}(x,y) $在$\displaystyle (0,0)$处连续$\displaystyle f_{y}(x,y) $在$\displaystyle (0,0)$处存在,证明:$\displaystyle f(x,y)$在$\displaystyle (0,0)$处可微.

六、(15分) 函数$\displaystyle f,g$在$\displaystyle (-1,1)$上可导, 对任意$\displaystyle x\in (-1,1)$有$\displaystyle g'(x)\not =0.$.若$\displaystyle \lim\limits_{x\to 0} g(x)=\infty,\lim\limits_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}=1,$证明:当$\displaystyle x\to 0$时$f(x)$和$g(x)$是等价无穷大量.