四川大学2008年数学分析考研试题

一、极限 (每小题7分,共28分)

1.$\displaystyle \lim\limits_{x\to +\infty } e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$

2.$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} ne^{\frac{1}{n}}-n^{2}\ln (1+\frac{1}{n})$

3.$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}\left(n!\right)^{\frac{1}{n^{2}}}$

4.$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0}\frac{\cos x -e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln(1-x)]}$

二、计算或证明下列各题(每小题10分,共60分) .

 

1.当$x\le 0$时,$f(x)=1+x^{2}$;当$x>0$时,$f(x)=xe^{-x}$.求$\displaystyle \int_{1}^{3}f(x-2)dx$.

 

2.设$\displaystyle f'(2^{x})=x2^{-x},f(1)=0$,求$f(x)$.

3.计算曲面积分$\displaystyle I= \iint\limits_{S}(x+y+z)dS$,其中曲面$S=\{(x,y,z)\in R^{3}\mid
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},z\ge 0\}$

4.计算曲线积分$\displaystyle I=\int\limits_{AmB}\left(\varphi (y) e^{x}-my\right)dx+\left(\varphi '(y)e^{x}-m\right)dy$.其中$\varphi (y)$、$\varphi '(y)$为$R$上的连续函数,$AmB$为连接点$A(1,2),B(3,4)$的任意路径(方向从A到B),但它与直线$AB$围成的区域面积为定值$P(P>0)$.


5.计算曲面积分$\displaystyle I=\iint\limits_{S}\left( x^{2} \cos \alpha +y^{2}\cos \beta +z^{2}\cos \gamma \right)dS$,其中$S$为圆锥面$x^{2}+y^{2}=z^{2},0\le z \le h,\cos \alpha ,\cos\beta ,\cos \gamma$为该曲面的外法向量$\overrightarrow{n}$的方向余弦.

 

6.函数$z=z(x,y)$具有二阶连续偏导且满足方程

$$q(1+q)\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}}-(1+p+q+2pq)\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}+p(1+p)\frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}=0$$

其中$\displaystyle p=\frac{\partial z}{\partial x},q=\frac{\partial z}{\partial y}$.假设$u=x+y,v=y+z,w=x+y+z$之下,证明:

$$\displaystyle \frac{\partial ^{2} w}{\partial u\partial v}=0$$

 

 

三、(本题10分) 设$f(x)$在$[0,1]$上具有连续导数,证明:

$$\lim\limits_{n\to \infty}n\int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx=f(1)$$



四、(本题10分) 设$f(x)$在$(a,b)$内二阶可微,证明:存在$c\in (a,b)$使得$$f(a)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(b)=\frac{(b-a)^{2}}{4}f''(c)$$

 

五、(本题10分) 设$f(x)$在$(a,b)$内具有连续导数且$f(a)=f(b)=0$,证明:$$\max\limits_{a\le x\le b}\left|f'(x)\right| \ge \frac{4}{(b-a)^{2}}\int_{a}^{b}\left| f(x)\right| dx.$$

 

六、(本题12分) (题误)设$x>0,y>0,z>0$,证明:$$3\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)^{2}\le \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{y}\right)^{2}+\left(z+\frac{1}{z}\right)^{2}.$$

七(本题20分) 设$f(x)$在$-\infty<x<+\infty$上有定义,在$x=0$的某领域内具有二阶连续导数,且$\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=a\in R$.证明:

 

1.若$a>0$,则级数$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}f\left(\frac{1}{n}\right)$收敛,级数$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}f\left(\frac{1}{n}\right)$发散.

 

2.若$a=0$,则级数$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}f\left(\frac{1}{n}\right)$绝对收敛.