四川大学2006年数学分析考研试题

一、(本题满分10分)  求极限$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}\left( n-\frac{1}{e^{\frac{1}{n}}-1}\right)$

 

二、(本题满分15分) 设函数$f(x)$在$[0,1]$上二阶可导,满足$\displaystyle | f''(x)|\le 1,f(x)$在区间$(0,1)$内取最大值$\displaystyle \frac{1}{4}$,

证明:$| f(0)|+|f(1)| \le 1.$

 

三、(本题满分15分) 设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续可导,且$\displaystyle f(0)=f(1)=0$.证明:$$ \int _{0}^{1} \left| f(x)f'(x)\right| dx\le \frac{1}{4}\int_{0}^{1}[f'(x)]^{2}dx.$$

 

四、(本题满分20分) 证明函数项级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( -1\right)^{n+1}\frac{1}{n^{x}}$在$(0,+\infty)$上不一致收敛,

但在$(0,+\infty)$有连续导数.

 

五、(本题满分15分) 计算曲面积分$\displaystyle \iint\limits_{S}\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$.其中$S$是椭球面:$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z\ge0)$的上侧.