四川大学2005年数学分析考研试题

一、(本题满分15分)试求极限$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\sin \frac{k}{n^{2}}$.

 

二、(本题满分15分)已知数列$\{x_{n}\}$满足:对一切$n$都有$\displaystyle \left( a+\frac{1}{n}\right)^{n+x_{n}}=e$成立.求$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}x_{n}$.

 

三、(本题满分15分)计算二重积分:$\displaystyle \iint_{D}e^{-(x+y)^{2}}dxdy $,其中$D$由$x+y=1,y=x,x=0$所围成.

 

四、(本题满分15分)若$\displaystyle -\infty <a<b<c<+\infty,f(x)$在$[a,c]$上连续,且$f(x)$在$(a,c)$上二阶可导.求证:存在$\xi \in (a,c)$使得:

$$\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-c)(c-b)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{2}f''(\xi)$$

成立

 

五、(本题满分15分)对所有$x\in (0,+\infty)$,级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}$都收敛,且$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}n!a_{n}$收敛.

证明:$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}e^{-x}\right)dx=\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}n!a_{n}$.