四川大学2004年数学分析考研试题

一、(本题满分20分)设$\displaystyle a_{1}>0,a_{2}>0,\cdot\cdot\cdot,a_{n}>0$,定义$\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x} }{n}\right)^{\frac{1}{x}}$证明:

1.$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdot\cdot\cdot a_{n}}$

2.$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\max\{{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}}\}$.

 

二、(本题满分20分)设$f(x)$在$[0,1]$上连续可微,且满足$\displaystyle f(0)=0,0<f'(x)\le 1$

1.证明:$\displaystyle \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2}\ge \int_{0}^{1}f^{3}(x)dx$

2.举一个满足条件且使(1)中等号成立的例子.

 

三、(本题满分20分)设$f(x)$在有穷或无穷区间$(a,b)$中的任意一点处可导,且$\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to b^{-}}$,分别就以下三种情形:

1.$a,b$有限;
2. $a=-\infty ,b=+\infty$;
3. $a$有限,$b=+\infty$
证明:存在一点$\xi\in (a,b)$使得$f'(\xi)=0$

 

四、(本题满分20分)计算$\displaystyle \iint\limits_{S}\frac{dydz}{x}+\frac{dzdx}{y}+\frac{dxdy}{z}$.其中$S$是椭球面:$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a,b,c>0)$的外侧.