四川大学2002年数学分析考研试题

一、(15分)设$\displaystyle x_{1}>0,x_{n+1}=\frac{3(1+x_{n})}{3+x_{n}}(n=1,2,\cdot \cdot \cdot)$,证明:$x_{n}$有极限,并求出极限值.

 

二、(15分) 设$y=f(x)$在$\displaystyle [0,+\infty)$一致连续,对任意$\displaystyle x\in[0,1],\lim\limits_{n\to \infty }(x+n)=0$,($n$为正整数),

证明:$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}f(x)=0$.

 

三、(每小题10分,共20分) 设在$[a,b]$上,有$f''(x)>0$,证明:

1.对任何$x_{0},x\in[a,b]$,有$\displaystyle \displaystyle  f(x)\ge f(x_{0})+f'(x-{0})(x-x_{0})$

2.对任何$x_{1},x_{2},\cdot \cdot\cdot,x_{n}\in[a,b]$,有$\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\right)\le\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i})$

 

四、(15分) 设$y=f(x)$在$[a,b]$有连续导数且$f(a)=0$,证明:$$ M^{2}\le (b-a)\int_{a}^{b}[f'(x)]^{2}dx$$

其中$\displaystyle M=\sup\limits_{a\le x\le b}\left| f(x)\right|$.

 

五、(10分) 设$f(x,y)$为$n$次齐次函数,即满足:对任意$\displaystyle t>0,f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$,且$f$可微,证明在$(x,y)\not =(0,0)$处有

$$ x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=nf$$

 

六、设$g(x)$在$[0,1]$上连续.作$\displaystyle f_{n}(x)=g(x)x^{n}$,证明:$\displaystyle \{ f_{n}(x) \}$在$[0,1]$上一致收敛.

 

七、计算积分 $\displaystyle \int_{AmB}(x^{2}-yz)dx+(y^{2}-xz)dy+(z^{2}-xy)dz$此积分是从点$A(a,0,0)$至点$B(a,0,h)$沿螺线$\displaystyle x=a\cos \theta $、

$\displaystyle y=a\sin \theta $、$\displaystyle z=a\frac{h}{2\pi} \theta $上所取的.