2012年四川大学高等代数部分解答

六、解答下列各题

2. 设$V$是复数域上的有限维线性空间,$H$是$V$上两两可交换且可对角化的线性变换组成的线性空间.

证明:存在若干线性函数$\alpha_{i}$:$H \to \mathbb{C}$使得有如下的空间直和分解:

$$V = \oplus_{i=1}^{m}V_{i} ,其中,
V_{i} = \{v\in V \mid h(v)= \alpha_{i}(h)v,\forall h\in H\}$$

2. 证明:先证明$H$中的任意一组基可以同时对角化,再找出线性函数.因
$V$是有限维线性空间,不妨设$\dim V=n$,则$\dim End(V)=n^{2}$,显然$H$
是$End(V)$的真子空间,于是$\dim H<n^{2}$,不妨设$\dim H=m$,取$H$的一组基
$$h_{1},h_{2},...,h_{m}$$
两两可换.来证存在$V$中的一组基是得$h_{1},h_{2},...,h_{m}$同时对角化.
对线性空间$V$的维数$n$作第二数学归纳法
$n=1$时$h_{1},h_{2},...,h_{m}$在$V=L(\alpha)$下的矩阵都是一级的,结论显然成立.
假设对维数小于$n$的线性空间,结论都成立,来考察$n$维线性空间$V$.
因$h_{1}$可对角化,因此存在空间V的直和分解$$V=\oplus_{i=1}^{s}V_{\lambda _{i}}$$
其中$V_{\lambda _{i}}$是$h_{1}$的属于特征值$V_{\lambda _{i}}$的特征子空间,又因为$h_{j}$均与$h_{1}$可换,因此$V_{\lambda _{i}}$
都是
$h_{j}$的不变子空间,那么$h_{j}\mid V_{\lambda _{i}}$ 是 $V_{\lambda _{i}}$上的线性变换,并且$h_{j}\mid V_{\lambda _{i}}(i =1,2,...,s;j=1,2,...m)$ 仍然两两可换.用$m_{ji}(\lambda)$来表示$h_{j}\mid V_{\lambda _{i}}$的最小多项式,用$m_{j}(\lambda)$来表示
$h_{j}$的最小多项式.那么有$$ m_{j}(\lambda)=[m_{j1}(\lambda),m_{j2}(\lambda),...,m_{jm}(\lambda)],$$
因为$h_{j}$可对角化,因而$ m_{j}(\lambda)$在$C[\lambda]$可分解为一次互素因式的乘积,那么$m_{ji}(\lambda)$同
样可以.这表明$h_{j}\mid V_{\lambda _{i}}$可对角化,而$\dim V_{\lambda _{i}}<n$,由归纳法之假设,存在$V_{\lambda _{i}}$的
一组基$$\alpha_{i1} , \alpha_{i2},...\alpha_{in_{1}},i=1,2,...,s$$
使得$h_{j}\mid V_{\lambda _{i}}$在其下矩阵都是对角阵.则
$$\alpha_{11} , \alpha_{12},...\alpha_{1n_{1}},\alpha_{21}, \alpha_{22},...\alpha_{2n_{2}},...,\alpha_{s1}, \alpha_{s2},...\alpha_{sn_{s}}$$
组成$V$的一组基,使得$h_{j}$在其下矩阵为
$$A_{j}=
\begin{pmatrix}
A_{j1}& & & \\
&A_{j2}& & \\
& &\ddots & \\
& & &A_{js}

\end{pmatrix},
j=1,2,...,m.
$$

显然$A_{j}$都是对角阵.由归纳法原理知道,结论成立.
下面开始找符合条件的线性函数.
从上文知道
$$V=\oplus_{i=1}^{s}V_{\lambda _{i}}$$
并且存在一组基
$$\alpha_{11} , \alpha_{12},...\alpha_{1n_{1}},\alpha_{21}, \alpha_{22},...\alpha_{2n_{2}},...,\alpha_{s1}, \alpha_{s2},...\alpha_{sn_{s}},$$ 
使得
$$h_{1},h_{2},...,h_{m}$$ 
同时对角化,为方便起见,不妨记这组基为
$$\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{n},$$
当然可以对上述的直和分解进一步细化,令
$$V_{i}=L(\beta_{i}),i=1,2,...,n.$$
于是得到一维的空间直和分解$$V=\oplus V_{i=1}^{n}$$
$h_{j}$在这组基下可以同时对角化,令
$$
h_{j}(\beta_{i})=\lambda_{ji},i=1,2,...,n;j=1,2,...,m
$$
$\forall \upsilon \in V_{i},\upsilon=l\beta_{i},\forall h\in H,
h=\sum_{j=1}^{m}y_{j}h_{j}$,$$h(\upsilon)=\sum_{j=1}^{m}y_{j}h_{j}(\upsilon)=l\sum_{j=1}^{m}y_{j}h_{j}(\beta_{i})
=l\sum_{j=1}^{m}y_{j}\lambda_{ji}(\beta_{i})
$$
由此可见,只需令$\alpha_{i}(h_{j}=\lambda_{ji}) $,(因为一个线性函数只与它在一组基上的函数
值有关,定义了它在一组基上的值,也就定义出了一个线性函数)那么
$$
\alpha_{i}(h)(\upsilon)=\alpha_{i}(\sum_{j=1}^{m}y_{j}h_{j})(\upsilon)=l\sum_{j=1}^{m}\alpha_{i}(h_{j})(\beta_{i})=l\sum_{j=1}^{m}y_{j}\lambda_{ji}(\beta_{i})
$$
至此,$V_{i},\alpha_{i},i=1,2,...,n$已全部找出,证毕.

注：证明分为两部分，第一部分更详细的证明可参看《高等代数学习指导书》下册，丘维声编著，清华大学出版社，P443，例13.